Question

18．如圖，已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A、B為橢圓的左右頂點，焦點到短軸端點的距離為2，P、Q為橢圓E上異于A、B的兩點，且直線BQ的斜率等于直線AP斜率的2倍．
（Ⅰ）求證：直線BP與直線BQ的斜率乘積為定值；
（Ⅱ）求三角形APQ的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得橢圓方程，則k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，即可求得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{2}$，由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，及向量數(shù)量積的坐標運算，求得直線恒過點$（\frac{2}{3}，0）$，則${S_{△APQ}}={S_{△APM}}+{S_{△AQM}}=\frac{1}{2}×|OM|×|{y_1}-{y_2}|$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得三角形APQ的面積S的最大值，當直線l_PQ的斜率k不存在時，根據(jù)斜率關(guān)系，求得P和Q方程，即可求得三角形APQ的面積S．

解答 解：（Ⅰ）證明：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
由焦點到短軸端點的距離為2，即a=2，則c=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
設(shè)P點坐標（x，y），y²=$\frac{1}{2}$（4-x²）則A（-2，0），B（2，0），則k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，
則k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{1}{2}$
由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1．
∴直線BP與直線BQ的斜率乘積為-1為定值；
（Ⅱ）當直線PQ的斜率存在時，設(shè)l_PQ：y=kx+b與x軸的交點為M，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-4kb}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{b^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，
由$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=0$，得y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
得$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（kb-2）（{x_1}+{x_2}）+4+{b^2}=0$，
4k²+8kb+3b²=0，得b=-2k或$b=-\frac{2}{3}k$．y=kx-2k或$y=kx-\frac{2}{3}k$，
所以過定點（2，0）或$（\frac{2}{3}，0）$，
點（2，0）為右端點，舍去，
${S_{△APQ}}={S_{△APM}}+{S_{△AQM}}=\frac{1}{2}×|OM|×|{y_1}-{y_2}|$，
=$\frac{8}{3}\sqrt{\frac{{{k^2}（8{k^2}-2{b^2}+4）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}}=\frac{16}{9}\sqrt{\frac{{{k^2}（16{k^2}+9）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}}$，
=$\frac{16}{9}\sqrt{4-\frac{7}{2}[{\frac{1}{{2{k^2}+1}}+\frac{1}{{2{{（2{k^2}+1）}^2}}}}]}$，
令$\frac{1}{{2{k^2}+1}}=t$（0＜t＜1），${S_{△APQ}}=\frac{16}{9}\sqrt{4-\frac{7}{2}（t+\frac{1}{2}{t^2}）}$，0＜t+t²＜1，${S_{△APQ}}＜\frac{32}{9}$，
當直線l_PQ的斜率k不存在時，P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁），${k_{AP}}=\frac{1}{2}{k_{BQ}}$，即$\frac{{2{y_1}}}{{{x_1}+2}}=\frac{{-{y_1}}}{{{x_1}-2}}$，
解得${x_1}=\frac{2}{3}$，${y_1}=\frac{4}{3}$，${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{8}{3}=\frac{32}{9}$，
∴S_△APQ的最大值為$\frac{32}{9}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，函數(shù)單調(diào)性及最值與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．