Question

5．已知函數(shù)f（x）=acosx+x²，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，f（$\frac{π}{6}$））處的切線的斜率為$\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，
（Ⅱ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=acosx+x²，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），a∈R，
∴f′（x）=-asinx+2x，
∴f′（$\frac{π}{6}$）=-asin$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$，
∴a=-1，
∴f′（0）=sin0+0=0，f（0）=-1，
∴線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程y=-1，
（Ⅱ）∵f（x）≥2恒成立，
∴acosx+x²≥2，在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵0＜cosx≤1
∴a≥$\frac{2-{x}^{2}}{cosx}$，
設(shè)g（x）=$\frac{2-{x}^{2}}{cosx}$，
∴g′（x）=$\frac{-2xcosx+（2-{x}^{2}）sinx}{co{s}^{2}x}$，
令h（x）=-2xcosx+（2-x²）sinx，
∴h′（x）=-2cosx+2xsinx-2xsinx+（2-x²）cosx=-x²cosx＜0，在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴h（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（-$\frac{π}{2}$）=-2+$\frac{{π}^{2}}{4}$＞0，h（0）=0，h（$\frac{π}{2}$）=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$＜0
∴當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（0）=2，
∴a≥2

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力．