Question

18．已知數列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），設數列{c_n}滿足：a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數，n∈N^*），存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，則λ=-1．

Answer 1

分析 S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），n=1時，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，利用等差數列的通項公式可得a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．代入a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數，n∈N^*），化為：c_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ．由于存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，化為：$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+（-1）ⁿλ＞0，對n分類討論，利用數列的單調性即可得出．．

解答 解：∵S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），
∴a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化為：2a_n=a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
變形為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
∴數列{2ⁿa_n}是等差數列，首項為1，公差為1．
∴2ⁿa_n=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∵a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數，n∈N^*），
∴$\frac{n}{{2}^{n}}$（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn，
∴c_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
∵存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
化為：$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+（-1）ⁿλ＞0，
n=2k-1（k∈N^*）時，λ＜$（\frac{3}{2}）^{2k-2}$．
n=2k時，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{2k-1}$．
∴-$\frac{3}{2}$＜λ＜1．∵λ為非0整數．則λ=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式、不等式的解法、數列的單調性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．