Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（1+x）=f（1-x），則“f（x）為偶函數(shù)”是“2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期”的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），所以f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1-（x+1））=f（-x）=f（x），所以2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；若2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，則f（x）=f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1-（x+1））=f（-x），所以f（x）為偶函數(shù)，所以得到：“f（x）為偶函數(shù)“是“2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期“的充要條件．

解答： 解：（1）若f（x）為偶函數(shù)，則：f（-x）=f（x）；
∴由已知條件得：f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）；
∴2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
∴“f（x）為偶函數(shù)“是“2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期的充分條件“；
（2）若2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，則：f（x）=f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）；
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
∴“f（x）為偶函數(shù)“是“2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期“的必要條件；
綜合（1）（2）得，“f（x）為偶函數(shù)“是“2為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期“的充要條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)周期的概念，偶函數(shù)的概念以及充分條件，必要條件，充要條件的概念．