Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，若b_n=a_2n-1-1．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可得出．
（Ⅱ）利用分組求和、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）證明：${b_{n+1}}={a_{2n+1}}-1=\frac{1}{2}{a_{2n}}-1$=$\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+1）-1$=$\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}-1）=\frac{1}{2}{b_n}$，
故{b_n} 為等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=（{a_1}-1）•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，∴${a_{2n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+1$，
又a_2n=a_2n-1+1，∴${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=\frac{1}{{{2^{n-2}}}}+3$，
∴${S_{2n}}=3n+\frac{{2（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=3n+4-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與求和公式、分組求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．