Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）= ﹣a

∵f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴ ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥ ，x∈（1，+∞）．

∴a≥1．

令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．當(dāng)x＜lna時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞lna時(shí)，g′（x）＞0．

又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．

故a的取值范圍為：a＞e．

（2）解：當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）必為單調(diào)函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna，

因?yàn)間（x）在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，類似（1）有l(wèi)na≤﹣1，即0＜ ．結(jié)合上述兩種情況，有 ．

①當(dāng)a=0時(shí)，由f（1）=0以及f′（x）= ＞0，得f（x）存在唯一的零點(diǎn)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函數(shù)f（x）在[ea，1]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點(diǎn)．

另外，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，令f′（x）= ﹣a=0，解得x= ．當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞ 時(shí)，f′（x）＜0，

所以，x= 是f（x）的最大值點(diǎn)，且最大值為f（ ）=﹣lna﹣1．

（i）當(dāng)﹣lna﹣1=0，即a= 時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)x=e；

（ii）當(dāng)﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜ 時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

實(shí)際上，對(duì)于0＜a＜ ，由于f（ ）=﹣1﹣ ＜0，f（ ）＞0，且函數(shù)f（x）在[ ]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ ）上存在零點(diǎn)．

另外，當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0， ）上時(shí)單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）在（0， ）上只有一個(gè)零點(diǎn)．

下面考慮f（x）在（ ，+∞）上的情況，先證明f（ ）=a（ ）＜0．

為此，我們要證明：當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2．設(shè)h（x）=ex﹣x2，則h′（x）=ex﹣2x，再設(shè)l（x）=h′（x）=ex﹣2x，則l′（x）=ex﹣2．

當(dāng)x＞1時(shí)，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上時(shí)單調(diào)增函數(shù)；

故當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，從而h（x）在（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)x＞e時(shí)，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2

當(dāng)0＜a＜ ，即 ＞e時(shí)，f（ ）= =a（ ）＜0，又f（ ）＞0，且函數(shù)f（x）在[ ， ]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ ， ）上存在零點(diǎn)．

又當(dāng)x＞ 時(shí)，f′（x）= ﹣a＜0，故f（x）在（ ，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）在（ ，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜合（i）（ii）（iii），當(dāng)a≤0或a= 時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求得結(jié)論；（2）先確定a的范圍，再分類討論，確定f（x）的單調(diào)性，從而可得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．