【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn),x軸于點(diǎn)D.記滿(mǎn)足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程;
(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且.
①證明:
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計(jì)算S(λ)的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
試題(1)由已知M是PD的中點(diǎn),利用P點(diǎn)在圓上,可以求出M的點(diǎn)軌跡方程為;(2)點(diǎn)Q在(1)中的橢圓上,G是OQ上的分點(diǎn),利用直線與橢圓的關(guān)系,可以找到λ與m和k的關(guān)系,并進(jìn)一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數(shù)關(guān)系式,再求出它的最大值.
試題解析:(1)設(shè),則點(diǎn),且 (1)
∵
∴ (2)
將(2)代入(1),得
∴軌跡Γ的方程為; 5分
(2)①令
由消去y
得 6分
∴,即 (3)
∴
又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得
根據(jù),得
將其代入橢圓方程,有
化簡(jiǎn)得: (4) 9分
②由(3)(4)得
∵ (5)
在△AOB中, (6)
∴由(4)(5)(6)可得 12分
令
則(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),即時(shí)取“=”)
∴當(dāng)時(shí),取得最大值,其最大值為1. 13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,直線過(guò)點(diǎn)
(1)若直線的斜率為,證明:與圓相切;
(2)若直線與圓交于兩點(diǎn),且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,幾何體AMDCNB是由兩個(gè)完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體,這兩個(gè)四棱錐的底面ABCD為正方形,,平面平面ABCD.
(1)證明:平面平面MDC.
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50名學(xué)生組成一個(gè)樣本,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組……,第五組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中,成績(jī)屬于第四組的人數(shù);
(2)若成績(jī)小于15秒認(rèn)為良好,求該樣本中在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù);
(3)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊,其中邊長(zhǎng)為200米,現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng),停車(chē)場(chǎng)的四個(gè)頂點(diǎn)都在的三條邊上,其余的地面全部綠化.若建停車(chē)場(chǎng)的費(fèi)用為180元/平方米,綠化的費(fèi)用為60元/平方米,設(shè)米,建設(shè)工程的總費(fèi)用為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式:
(2)求停車(chē)場(chǎng)面積最大時(shí)的值,并求此時(shí)的工程總費(fèi)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù))滿(mǎn)足,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2) 令,求函數(shù)在∈[0,2]上的最小值.
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