Question

【題目】已知數(shù)列中，，對(duì)任意的，，有．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足（，），

①求數(shù)列的前項(xiàng)和；

②設(shè)是正整數(shù)，若存在正數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）的最大值為5

【解析】

（1）先證明是首項(xiàng)，公差都為1的等差數(shù)列，再寫出數(shù)列的通項(xiàng)；（2）①先求出，（），再分類討論求出數(shù)列的前項(xiàng)和；②原題等價(jià)于存在正數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)（），當(dāng)時(shí)，都有，再對(duì)分類討論求出m的最大值．

（1）由，，令，

則，所以是首項(xiàng)，公差都為1的等差數(shù)列，

所以的通項(xiàng)公式為．

（2）由題意，

（），

兩式相減得（），，（），

當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，（）．

所以①時(shí)，，；

②時(shí)，，

③且時(shí)，，．

（3）等價(jià)于，，

原題等價(jià)于存在正數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)（），當(dāng)時(shí)，都有，

①當(dāng)時(shí)，，與題目要求不符；

②當(dāng)時(shí)，，與題目要求不符；

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上式取對(duì)數(shù)得，

等價(jià)于，

設(shè)，，則，

，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減；

所以在取最大值，

又因?yàn)?/span>，所以；

設(shè)，，則，

設(shè)，，，時(shí)，所以在遞減，

又，所以在恒成立，即在遞減．

時(shí)，，存在；

時(shí)，，遞減，

，，

所以的最大值為5．