Question

15．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=b₁=1，a₃b₂=14，a₃-b₂=5．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q（q＞0），由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，可得公差與公比的方程組，解方程可得所求通項公式；
（Ⅱ）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q（q＞0），
由a₁=b₁=1，a₃b₂=14，a₃-b₂=5．
則$\left\{\begin{array}{l}（1+2d）q=14\\（1+2d）-q=5\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}d=3\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{3}{2}\\ q=-7\end{array}\right.$（舍），
所以a_n=3n-2，${b_n}={2^{n-1}}$，n∈N*．
（Ⅱ）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{n（1+3n-2）}{2}+\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}+{2^n}-1$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，以及方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．