Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為   ρsin²θ=2cosθ，過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）求證：|PA|•|PB|=|AB|²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t參數(shù)可得直線l的普通方程；根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）曲線C和直線l聯(lián)立方程組求解A，B坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，
x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得：y²=2x
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，可得x-y=-2+4，即x-y-2=0．
∴直線l的普通方程為x-y-2=0．
（Ⅱ）證明：直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得坐標(biāo)A（$\sqrt{5}+3$，$\sqrt{5}+1$），坐標(biāo)B（3$-\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）
∵P（-2，-4），
那么：|PA|•|PB|=$\sqrt{2（\sqrt{5}+5）^{2}}•\sqrt{2（5-\sqrt{5}）^{2}}=2×20=40$
|AB|²=$（\sqrt{5}+3-3+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}+1-1+\sqrt{5}）^{2}$=40．
∴|PA|•|PB|=|AB|²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換．兩點(diǎn)之間的距離公式．屬于基礎(chǔ)題．