19.隨著社會(huì)的發(fā)展,終身學(xué)習(xí)成為必要,工人知識(shí)要更新,學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少,現(xiàn)某工廠有工人1000名,其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)(稱(chēng)為A類(lèi)工人),另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱(chēng)為B類(lèi)工人),從該工廠的工人中共抽查了100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))得到A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(圖1),B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(圖2).

(Ⅰ)問(wèn)A類(lèi)、B類(lèi)工人各抽查了多少工人,并求出直方圖中的x;
(Ⅱ)求A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計(jì)B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅲ) 若規(guī)定生產(chǎn)能力在[130,150]內(nèi)為能力優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).
能力與培訓(xùn)時(shí)間列聯(lián)表
短期培訓(xùn)長(zhǎng)期培訓(xùn)合計(jì)
能力優(yōu)秀85462
能力不優(yōu)秀172138
合計(jì)2575100
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考公式:${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.

分析 (Ⅰ)由莖葉圖知A類(lèi)工人中抽查人數(shù)為25名,B類(lèi)工人中應(yīng)抽查100-25=75,由頻率分布直方圖求出x;
(Ⅱ)由莖葉圖知A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)為122,由(Ⅰ)及頻率分布直方圖,估計(jì)B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù);
(Ⅲ)求出K2,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)由莖葉圖知A類(lèi)工人中抽查人數(shù)為25名,…(1分)
∴B類(lèi)工人中應(yīng)抽查100-25=75(名).…(2分)
由頻率分布直方圖得 (0.008+0.02+0.048+x)×10=1,得x=0.024.…(3分)
(Ⅱ)由莖葉圖知A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)為122   …(4分)
由(Ⅰ)及頻率分布直方圖,估計(jì)B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)為${\bar x_B}$=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8    …(6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)及所給數(shù)據(jù)得能力與培訓(xùn)的2×2列聯(lián)表,

短期培訓(xùn)長(zhǎng)期培訓(xùn)合計(jì)
能力優(yōu)秀85462
能力不優(yōu)秀172138
合計(jì)2575100
…(9分)
由上表得$k=\frac{{100×{{(8×21-17×54)}^2}}}{25×75×38×62}=\frac{{100×{{750}^2}}}{25×75×38×62}≈12.733$>10.828   …(11分)
因此,可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖及獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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 單位 A1A2  A3A4  A5
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(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程;(系數(shù)精確到0.01)
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注:回歸當(dāng)初$\widehat{y}=\widehatx+\widehat{a}$中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$.

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