Question

設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，若過，，三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切. 過定點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形. 如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219355889062290/SYS201205221939303906187585_DA.files/image004.png">，

所以為中點(diǎn).

設(shè)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219355889062290/SYS201205221939303906187585_DA.files/image009.png">，

所以，，且過三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為.           ………………………… 2分

因?yàn)樵搱A與直線相切，所以.

解得，所以，.

    故所求橢圓方程為.    …………………………………… 4分

（Ⅱ）設(shè)的方程為（），

    由 得.

    設(shè)，，則.……………………5分

    所以.

              =

.

由于菱形對角線互相垂直，則.……………………6分

    所以.

故.

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219355889062290/SYS201205221939303906187585_DA.files/image022.png">，所以.

    所以

即.

所以

解得. 即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219355889062290/SYS201205221939303906187585_DA.files/image022.png">，所以.

故存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍是. ……………… 8分

（Ⅲ）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為，代入橢圓方程

得.

由，得.       …………………………………………… 9分

設(shè)，，

則，.  

又，所以. 所以. …… 10分

所以，.

所以.  所以.

整理得.       ……………………………………… 11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219355889062290/SYS201205221939303906187585_DA.files/image047.png">，所以. 即. 所以.

解得.

又，所以.  …………………………………… 13分

②又當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

此時(shí)，，，，

，所以.

所以，即所求的取值范圍是. ……………… 14分