12．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，求k的值．

11．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設橢圓C₁的左、右焦點分別為F₁、F₂，若直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M．
（i）求點M的軌跡C₂的方程；
（ii）過點F₂作兩條相互垂直的直線交曲線C₂于A、C、B、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

10．如圖，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$為焦點的橢圓C與以原點O為圓心，F₁F₂為直徑的圓在第一象限的交點的縱坐標為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓與y軸正半軸交點的直線l交橢圓于A、B兩點，若△OAB面積的最小值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，試求直線l的斜率k的取值范圍．

9．點F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$），動點M到點F₂的距離是4，線段MF₁的中垂線交MF₂于點P．
（1）當點M變化時，求動點P的軌跡G的方程；
（2）若斜率為$\sqrt{2}$的動直線l與軌跡G相交于A、B兩點，Q（1，$\sqrt{2}$）為定點，求△QAB面積的最大值．

8．已知動點P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點C（$\frac{1}{2}$，0）的距離．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若在y軸上截距為2的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點，O為坐標原點，且以MN為直徑的圓過原點，求直線l的方程．

7．已知函數f（x）=e^2π-x+sinx，x∈[π，2π]，g（x）=${π}^{2x-e}+ln\frac{x}{e}$．x∈（0，e]．
（1）若存在實數x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立．對任意的實數x∈（0，e]，b≥g（x）成立，求α的最大值u，b的最小值v；
（2）試比較u與v的大小，并說明理由．

6．設f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實數．
（1）當a=$\frac{16}{15}$時，求f（x）的極值點；
（2）若f（x）為R上的單調函數，求實數a的取值范圍．

5．設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C₁交于M，N兩點．
（I）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若AB是橢圓C₁經過原點O的弦，且MN∥AB，求證：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$為定值．

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓上的點到直線$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距離的最大值為$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，傾斜角為45°的直線l交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點M（4，1），當直線l不過點M時，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

3．定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且焦點在x軸上、短半軸長為b的橢圓C_b的標準方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍；
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓M_λ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）