【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點在雙曲線C上，設坐標原點為O.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過點的直線l與雙曲線C交于R、S兩點，若，求直線l的方程；

（3）設在雙曲線上，且直線AM與y軸相交于點P，點M關于y軸對稱的點為N，直線AN與y軸相交于點Q，問：在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.

【題目】已知數列的通項公式為，其中且.

（1）若是正項數列，求的取值范圍；

（2）若，數列滿足，且對任意，均有，寫出所有滿足條件的的值；

（3）若，數列滿足，其前n項和為，且使的i和j至少4組，、、……、中至少有5個連續(xù)項的值相等，其它項的值均不相等，求，滿足的充要條件并加以證明.

【題目】已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在實數、，對于定義域內任意，均有成立，稱數對為函數的“伴隨數對”.

（1）判斷函數是否屬于集合，并說明理由；

（2）若函數，求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”；

（3）若、都是函數的“伴隨數對”，當時，，當時，，求當時，函數的解析式和零點.

【題目】某公司生產的某批產品的銷售量萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用萬元滿足（其中，為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元件．

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？

【題目】設函數的定義域為，如果存在非零常數，對于任意，都有，則稱函數是“似周期函數”，非零常數為函數的“似周期”．現有下面四個關于“似周期函數”的命題：

①如果“似周期函數”的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數；

②函數是“似周期函數”；

③函數是“似周期函數”；

④如果函數是“似周期函數”，那么“”．

其中是真命題的序號是 ．（寫出所有滿足條件的命題序號）

【題目】對于雙曲線：（），若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

（1）若直線上點都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點，圓（）在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點都在的外部，求的取值范圍.

【題目】已知數列的通項公式為，其中，、.

(1)試寫出一組、的值，使得數列中的各項均為正數.

(2)若，，數列滿足，且對任意的()，均有，寫出所有滿足條件的的值.

(3)若，數列滿足，其前項和為，且使(、，)的和有且僅有組，、、…、中有至少個連續(xù)項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.

【題目】如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設計的小凳應滿足：三根細鋼管相交處的節(jié)點與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面，且分細鋼管上下兩段的比值為，三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點，厘米，求凳子的高度及三根細鋼管的總長度(精確到).

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.設數列的前n項和為且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）若求正整數的值；

（3）是否存在正整數，使得恰好為數列的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點都在雙曲線上，直線與軸相交于點，設坐標原點為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點的坐標（用表示）；

（2）設點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.問：在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，且，試求直線的方程.