Question

【題目】如圖所示，豎直面內(nèi)的光滑四分之一圓弧軌道AB與光滑的半圓弧軌道BC在B點(diǎn)平滑連接，四分之一圓弧的圓心與C點(diǎn)重合，半圓弧的直徑BC沿豎直方向，一個(gè)小球在A點(diǎn)正上方某高度處由靜止釋放，無碰撞地進(jìn)人軌道，并恰好能到達(dá)C點(diǎn)，半圓弧的半徑為R,重力加速度為g，求:

（1）運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)前和B點(diǎn)后一瞬間對軌道的壓力大小之比;

（2）小球從C點(diǎn)飛出后，第一次落到四分之一圓弧軌道上的位置離B點(diǎn)的高度為多少?

（3）若僅將半圓弧軌道的半徑增大為3R,圓心仍在過B點(diǎn)的豎直線上，兩圓弧軌道仍在B點(diǎn)平滑連接，要使小球第一次運(yùn)動(dòng)到半圓弧軌道上時(shí)，不會(huì)脫離軌道，則小球下落時(shí)的位置離B點(diǎn)的高度應(yīng)滿足什么條件?

Answer 1

【答案】（1） （2）（3-）R （3）

【解析】

（1）由于小球剛好能到達(dá)C點(diǎn)，則

mg=m

從B到C的過程機(jī)械能守恒，則有

2mgR=

設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)前一瞬間軌道對小球的支持力為 到達(dá)B點(diǎn)后一瞬間軌道對小球的支持力為，則有

求得mg

求得mg

根據(jù)牛頓第三定律，小球到達(dá)B點(diǎn)后一瞬間對軌道的壓力

小球到達(dá)B點(diǎn)后一瞬間對軌道的壓力

因此有

（2）小球從C點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下向左建立直角坐標(biāo)系，設(shè)小球第一次落到軌道上的位置坐標(biāo)為(x，y)

則有

x=

y=gt

x+y=(2R)

求得

y=（

落點(diǎn)離B點(diǎn)的高度

h=2R-y=（3-）R

（3）設(shè)小球下落點(diǎn)離B點(diǎn)的高度為時(shí)，小球剛好能運(yùn)動(dòng)到半圓弧最高點(diǎn)，設(shè)此時(shí)在最高點(diǎn)的速度為v，

則根據(jù)牛頓第二定律有

mg=

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

mg=mv+6mgR

求得

設(shè)小球下落點(diǎn)離B點(diǎn)的高度為，小球剛好能運(yùn)動(dòng)到半圓弧軌道上與圓心等高的位置，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

mg

可得=3R

要使小球第一次運(yùn)動(dòng)到半圓弧軌道上時(shí)，不會(huì)脫離軌道，則小球下落時(shí)的位置離B點(diǎn)的高度h應(yīng)滿足：或