Question

6．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy在豎直面內(nèi)，z軸在水平地面上，拋物線狀的支架QOC（方程為y=x²）固定在z軸上，其頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O；半徑R=2m的四分之一光滑圓弧軌道AB固定在拋物線狀的支架上合適的P點(diǎn)，其A端在y軸上，A端切線水平；傾角為45°的斜面CD，其C端固定在拋物線狀的支架的C端，其D端在x軸上．一個(gè)小物塊從圓弧軌道上某一位置由靜止釋放，過(guò)A點(diǎn)的速度為v_A=2$\sqrt{5}$m/s，并恰好從C點(diǎn)沿著斜面方向進(jìn)入斜面．已知小物塊與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²．求：
（1）A點(diǎn)的高度h；
（2）小物塊在圓弧軌道上釋放點(diǎn)位置的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；
（3）小物塊到達(dá)斜面底端的速度大小．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題意，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和幾何關(guān)系求出A點(diǎn)的高度h；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理和幾何關(guān)系求出小物塊在圓弧軌道上釋放點(diǎn)位置的坐標(biāo)；
（3）對(duì)CD段，根據(jù)幾何關(guān)系和動(dòng)能定理求出小物塊到達(dá)斜面底端的速度大小．

解答 解：（1）從A到C過(guò)程中，小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，C點(diǎn)的坐標(biāo)（x_C，y_C），在C點(diǎn)豎直方向的速度為v_y，
由幾何關(guān)系得：v_y=v_Atan45°，
由速度時(shí)間關(guān)系得：v_y=gt，
水平方向上，有：x_C=v_At，
由題意知，C點(diǎn)在y=x²上，則有：y_C=${x}_{C}^{2}$，
豎直方向上有：h-y_C=$\frac{1}{2}$gt²，
由以上各式聯(lián)立可解得：v_y=2$\sqrt{5}$m/s，t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s，x_C=2m，y_C=4m，h=5m．
（2）小物塊在圓弧軌道上釋放點(diǎn)位置的坐標(biāo)（x，y），該點(diǎn)的半徑與豎直方向的夾角為θ，小物塊的質(zhì)量為m，從釋放點(diǎn)到A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$，
由幾何關(guān)系得：x=Rsinθ，
y=h+R（1-cosθ），
聯(lián)立以上各式可解得：x=$\sqrt{3}$m，y=6m，
小物塊在圓弧軌道上釋放點(diǎn)位置的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$m，6m）．
（3）設(shè)斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)，小物塊在C點(diǎn)的速度為v_C，在D點(diǎn)的速度為v_D，
由幾何關(guān)系得：v_A=v_Ccos45°，y_C=Lsin45°，
由動(dòng)能定理得：（mgsin45°-μmgcos45°）L=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$，
聯(lián)立以上各式可解得：v_D=4$\sqrt{5}$m/s．
答：（1）A點(diǎn)的高度h為5m；
（2）小物塊在圓弧軌道上釋放點(diǎn)位置的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$m，6m）；
（3）小物塊到達(dá)斜面底端的速度大小為4$\sqrt{5}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要弄清物塊在不同階段的規(guī)律，熟練運(yùn)用相關(guān)公式和幾何知識(shí)即可正確解題，有一定的難度．