Question

14．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸上方各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，其中q與m分別為α粒子的電量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，mn為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界線，ab為一塊很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x軸，放置于y=2d處，如圖所示，觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰好無(wú)粒子打到ab板上．（不考慮α粒子的重力及粒子間的相互作用）．求：
（1）α粒子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界mn時(shí)距y軸的最大距離；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）將ab板至少向下平移多大距離才能使所有的粒子均能打到板上？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能；
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小得出磁場(chǎng)的寬度，從而確定出ab板移動(dòng)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答 （1）根據(jù)動(dòng)能定理有：Eqd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
可得：v=2v₀
初速度方向與x軸平行的粒子通過(guò)邊界mn時(shí)距y軸最遠(yuǎn)，由類平拋知識(shí)有：d=$\frac{1}{2}$at²
Eq=ma
x=v₀t
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
（2）根據(jù)上題結(jié)果，對(duì)于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸正方向夾角為：θ=$\frac{π}{3}$

初速度方向與x軸平行的粒子通過(guò)邊界mn時(shí)距y軸最遠(yuǎn)，而且與mn之間的夾角最小，
由圖可得，若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，
因此此粒子軌跡與ab板相切是臨界條件，可得其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{2}{3}$d
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
（3）由分析可知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．
其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切． 由分析可知此時(shí)磁場(chǎng)寬度為原來(lái)的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}$d，
則：ab板至少向下移動(dòng)：△y=$\frac{2}{3}$d
沿x軸正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板區(qū)域的右邊界，由幾何知識(shí)可知：ab板上被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度為：
L=2x+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d
答：（1）α粒子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界mn時(shí)的速度大小及距y軸的最大距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）將ab板至少向下平移△y=$\frac{2}{3}$d的距離才能使所有的粒子均能打到板上，此時(shí)ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．