Question

3．天文學(xué)中把兩顆距離比較近，又與其它星體距離比較遠(yuǎn)的星體叫做雙星，雙星的間距是一定的．設(shè)雙星的質(zhì)量分別是m₁、m₂，星球球心間距為L(zhǎng)．問(wèn)：
（1）兩星的軌道半徑各多大？
（2）兩星的速度各多大？

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進(jìn)一步計(jì)算軌道半徑大�。粨�(jù)萬(wàn)有引力提供向心力計(jì)算出角速度；最后根據(jù)v=ωr求解線速度．

解答 解：（ 1 ）由于雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且角速度相同，
對(duì) m₁ 由：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$…①
對(duì) m₂ 由：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$…②
由 ①②得：$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}$
又 r₁+r₂=L
解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$       ${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$…③
（ 2 ）聯(lián)立①③得：$ω=\sqrt{\frac{G{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}}$
${v}_{1}^{\;}={r}_{1}^{\;}ω=\sqrt{\frac{G{m}_{2}^{\;}{r}_{1}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}}$=${m}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$…④
聯(lián)立②③得$ω=\sqrt{\frac{G{m}_{1}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}}}$
  ${v}_{2}^{\;}={r}_{2}^{\;}ω=\sqrt{\frac{G{m}_{1}^{\;}{r}_{2}^{\;}}{{L}_{2}^{\;}}}$=${m}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$…⑤
答：（1）兩星的軌道半徑分別為$\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$、$\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
（2）兩星的速度分別為${m}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$、${m}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{G}{L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．