Question

5．修理工人在沒有專用設(shè)備的情況下，要將一質(zhì)量m的金屬環(huán)A緊密套在一個質(zhì)量是M=4m、長度為L的圓柱形工件B的中間位置，已知A環(huán)與圓柱B間滑動摩擦力f=6mg．
（1）讓A環(huán)水平套在B的頂部，然后將B升至H₀高度放手，B落地后立刻靜止不動，A沿B下滑一段，然后再將B升至H₀高度放手，重復(fù)上述過程，求第一次A環(huán)相對B移動距離s₀以及A環(huán)滑到B中間位置需要將B抬升的次數(shù)n；
（2）讓A環(huán)水平套在B的頂部，然后將B升至H₀高度放手，設(shè)地面是彈性鋼板，B落地后立刻原速度大小反彈，求第一次反彈后B上升最大高度h；
（3）在（2）的情況下B每次與鋼板碰撞都是直立的，求一次將B升至H₀高度經(jīng)過若干次反彈后A能沿B下滑的距離s．

Answer 1

分析 （1）對A第一次下落到相對于B靜止的過程，運(yùn)用動能定理求出第一次A環(huán)相對B移動距離s₀．根據(jù)ns₀=$\frac{L}{2}$求將B抬升的次數(shù)n；
（2）先根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式得到B第一次落地前瞬間的速度，從而得到反彈后B的速度．由牛頓第二定律求得A和B的加速度，由速度公式求得它們達(dá)到相同速度的時(shí)間和共同速度．共速后AB一起上升，由速度位移公式求出它們一起上升的最大高度，從而求得第一次反彈后B上升最大高度h；
（3）對AB，由功能關(guān)系列式，可求得A能沿B下滑的距離s．

解答 解：（1）對A來說，每次相對B下滑s₀，由動能定理得
  mg（H₀+s₀）-fs₀=0-0
得：s₀=$\frac{{H}_{0}}{5}$
又 ns₀=$\frac{L}{2}$ 得：n=$\frac{5L}{2{H}_{0}}$
（2）AB下落H₀后速度：v₀=$\sqrt{2g{H}_{0}}$
B以v₀反彈A、B加速度大小a₁、a₂．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對A有f-mg=ma₁，a₁=5g，方向向上
對B有 f+Mg=Ma₂．a(chǎn)₂=2.5g，方向向下
取向上為正，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間AB達(dá)共同速度v，則
對A有 v=-v₀+a₁t
對B有 v=v₀-a₂t
代入解得：v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，t=$\frac{4{v}_{0}}{15g}$
B上升h₁，則 h₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{8{v}_{0}^{2}}{45g}$
此后AB一起上升h₂，則h₂=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18g}$
所以B上升的最大高度 h=h₁+h₂=$\frac{7{v}_{0}^{2}}{30g}$
（3）對AB，由功能關(guān)系有
-fs=△E
即-fs=-MgH₀-mg（H₀+s）
代入解得：s=H₀
答：
（1）第一次A環(huán)相對B移動距離s₀為$\frac{{H}_{0}}{5}$，A環(huán)滑到B中間位置需要將B抬升的次數(shù)n為$\frac{5L}{2{H}_{0}}$；
（2）第一次反彈后B上升最大高度h是$\frac{7{v}_{0}^{2}}{30g}$；
（3）一次將B升至H₀高度經(jīng)過若干次反彈后A能沿B下滑的距離s是H₀．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是正確分析A、B的運(yùn)動過程，抓住過程的周期性，找出規(guī)律．同時(shí)要找到隱含的臨界狀態(tài)，如速度相同．要知道滑動摩擦力對系統(tǒng)做的功與相對位移有關(guān)．