Question

19．如圖甲所示，平行直線PQ、MN相距為d，內(nèi)有勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面．在苴線PQ的O點處有一粒子源，同時向各個方向均勻發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q，速度大小相同的粒子，重力不計，邊界存在磁場，
（1）某粒子自O(shè)點垂直直線PQ射入磁場中，求它可能在磁場中運動的最長時間．
（2）若所有粒子均未穿出直線MN，則粒子的速度滿足什么條件？
（3）若直線PQ、MN之間的磁場分布在以O(shè)為圓心、以d為半徑的半圓形區(qū)域內(nèi)（如圖乙），且粒子源某時刻發(fā)出的粒子中有$\frac{2}{3}$不能穿過直線MN，求粒子的速度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力，軌跡對應的圓心角越大，則運動的時間越長，故從PQ離開磁場使軌跡對應的圓心角最大，時間最長；
（2）所有粒子均未穿出直線MN，臨界情況對應的軌跡與MN相切，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，再根據(jù)牛頓第二定律列式分析；
（3）粒子源某時刻發(fā)出的粒子中有$\frac{2}{3}$不能穿過直線MN，則臨界情況對應的軌跡的初速度與直線QQ成60°角，離開磁場時速度方向應平行直線MN，畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律列式分析．

解答 解：（1）當粒子能夠運動半周返回直線PQ時，時間最長．
由牛頓第二定律得      qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
另外周期     T=$\frac{2πR}{v}$
故T=$\frac{2πm}{qB}$
可能的最長運動時間  t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$；
（2）設(shè)粒子初速度為v₁，方向平行直線PQ時，軌跡與直線MN相切，
則圓的半徑R₁=$\frach9d7gyn{2}$；
由牛頓第二定律得：qv₁B=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
故v₁=$\frac{qBd}{2m}$；
粒子的速度應滿足  v≤$\frac{qBd}{2m}$；
（3）設(shè)粒子速率為v₂，半徑為R₂，當初速度方向與直線QP成60°角時，離開磁場時速度方向應平行直線MN．

由幾何關(guān)系得 θ=60°；
2 R₂sinθ=d，
由牛頓第二定律得  qv₂B=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$；
故v₂=$\frac{\sqrt{3}qBd}{3m}$；
答：（1）某粒子自O(shè)點垂直直線PQ射入磁場中，它可能在磁場中運動的最長時間為$\frac{πm}{qB}$．
（2）若所有粒子均未穿出直線MN，則粒子的速度滿足條件：v≤$\frac{qBd}{2m}$；
（3）粒子的速度為$\frac{\sqrt{3}qBd}{3m}$．

點評 本題是粒子在磁場中運動的動態(tài)圓分析問題，關(guān)鍵是畫出運動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系分析臨界情況，根據(jù)牛頓第二定律列式分析．