Question

17．1656年，惠更斯制造出人類歷史上第一個(gè)擺鐘，使人類對(duì)時(shí)間的測(cè)量進(jìn)入嶄新的時(shí)代，擺鐘是利用單擺的等時(shí)性原則測(cè)量時(shí)間的．某標(biāo)準(zhǔn)擺鐘的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，將其移至深度為kR的礦井底部（R為地球的半徑，0＜k＜1），鐘將變快還是就慢？若要計(jì)時(shí)準(zhǔn)確，擺長(zhǎng)應(yīng)調(diào)為多長(zhǎng)？假定地球的密度均勻，已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．

Answer 1

分析 利用萬(wàn)有引力近似等于其重力，得到地球表面的重力加速度g礦井底部的重力加速度 g′，結(jié)合單擺的周期公式及密度公式，聯(lián)立求解．

解答 解：擺鐘移至礦井底部，周期變長(zhǎng)，鐘將變慢，地面的物體受到的萬(wàn)有引力約等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
礦井底部的物體受到的萬(wàn)有引力約等于重力，有：
$G\frac{M′m}{R{′}_{\;}^{2}}=mg′$
地球的密度均勻，即為：
$\frac{M}{M′}=（\frac{R}{R′}）_{\;}^{3}$
而R’=R（1-k）
由單擺周期公式有：
$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$
$T′=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L′}{g′}}$
聯(lián)立解得：L’=（1-k）L
答：擺鐘將變慢，擺長(zhǎng)應(yīng)調(diào)為（1-k）L

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，意在考查對(duì)基本物理規(guī)律的分析計(jì)算能力．