Question

5．如圖所示，兩根足夠長的平行金屬導軌MN、PQ電阻不計，其間距離為L，兩導軌及其構成的平面與水平面之間的夾角θ=30°．兩根用絕緣細線連接的金屬桿ab、cd分別垂直導軌放置，平行斜面向上的外力F作用在桿ab上，使兩桿靜止．已知兩金屬桿ab、cd的質量分別為m和2m，兩金屬桿的電阻分別為R和2R，ab桿光滑，cd桿與導軌間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，兩桿和導軌始終保持良好接觸，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度為B．某時刻將細線燒斷，保持桿ab靜止不動，重力加速度為g．求：
（1）細線燒斷瞬間外力F的大小F₁和cd內達到最大速度時的外力F的大小F₂；
（2）從細線燒斷到cd桿達到最大速度時，cd桿在此過程中下滑的位移為x，求桿ab產(chǎn)生的電熱Q_ab．

Answer 1

分析 （1）分別以ab桿和cd桿為研究對象，根據(jù)共點力的平衡條件列方程求解外力大小；
（2）根據(jù)共點力的平衡條件和閉合電路歐姆定律求解最大速度，再根據(jù)能量守恒定律求解求桿ab產(chǎn)生的電熱Q_ab．

解答 解：（1）細線燒斷瞬間，外力F有最小值F₁．
對ab桿受力分析可得：${F_1}=mgsinθ=\frac{1}{2}mg$
cd桿勻速運動時，外力F有最大值F₂．
對ab桿，根據(jù)共點力的平衡可得：F₂=mgsinθ+F_安
對cd桿，根據(jù)共點力的平衡可得：2mgsinθ=F_安+μ•2mgcosθ
聯(lián)立解得：${F_2}=3mgsinθ-2μmgcosθ=\frac{9}{10}mg$；
（2）cd桿達最大速度v_m時，cd桿勻速運動．
對cd桿根據(jù)受力平衡：2mgsinθ=BIL+μ•2mgcosθ
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$I=\frac{E}{3R}=\frac{{BL{v_m}}}{3R}$
解得：${v_m}=\frac{6mgR}{{5{B^2}{L^2}}}$；
從細線燒斷到cd桿達到最大速度過程中，整個回路產(chǎn)生的電熱為Q_總，
由能量守恒得：$2mgsinθ•x=\frac{1}{2}•2m•v_m^2+μ•2mgcosθ•x+{Q_總}$
解得：${Q_總}=\frac{2}{5}（mgx-\frac{{18{m^3}{g^2}{R^2}}}{{5{B^4}{L^4}}}）$
而Q_總=Q_ab+Q_cd=3Q_ab，
解得：${Q_{ab}}=\frac{2}{15}（mgx-\frac{{18{m^3}{g^2}{R^2}}}{{5{B^4}{L^4}}}）$．
答：（1）細線燒斷瞬間外力的大小為$\frac{1}{2}mg$，cd內達到最大速度時的外力的大小為$\frac{9}{10}mg$；
（2）從細線燒斷到cd桿達到最大速度時，cd桿在此過程中下滑的位移為x，桿ab產(chǎn)生的電熱為$\frac{2}{15}（mgx-\frac{18{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{5{B}^{4}{L}^{4}}）$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．