Question

16．如圖所示，一質量為m、電荷量為q的帶電粒子從平面直角坐標系y軸上的A點進入第四象限內正交的勻強電場和勻強磁場中，粒子進入第四象限的速度為v，沿與y軸成30°角的直線運動并進入第一象限，進入第一象限后磁場不變，但電場由第四象限中水平向右的勻強電場E₁變?yōu)樨Q直向上的勻強電場E₂，沿圓形軌跡運動一段后從y軸上的C點水平進入第二象限，第二、三象限中沒有磁場，電場與第一象限等大反向．已知重力加速度為g，求：
（1）E₁與E₂的比值；
（2）粒子從A點運動到x軸負半軸上D點的時間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在第四象限做直線運動，由于洛侖茲力與速度有關，則可判定帶電粒子是做勻速直線運動．由平衡條件可以求得電場力、洛侖茲力與重力的關系．而在第一象限做勻速圓周運動，那么兩個恒力重力與電場力抵消平衡．從而求出第四和第一象限的電場強度之比．
（2）由帶電粒子運動的對稱性畫出在三個象限的運動軌跡，由相應的運動學公式，分別求出各個過程的運動時間，從而求出從A點到D點的總時間．

解答 解：（1）粒子在第四象限做直線運動，受到重力、電場力和洛侖茲力作用．重力和電場力是恒力，洛侖茲力隨速度變化，而粒子做勻速直線運動，由左手定則可知粒子帶正電
根據平衡條件有：E₁qtan30°=mg
解得：E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$
粒子在第一象限做勻速圓周運動，洛侖茲力完全提供向心力，重力與電場力平衡，有：
mg=E₂q
E₂=$\frac{mg}{q}$
所以有：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\sqrt{3}$
（2）由粒子在第四象限受力平衡有：qvBsin30°=mg
在第一象限做勻速直線運動，洛侖茲力提供向心力有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：R=$\frac{{v}^{2}}{2g}$
在第一象限時間為：t₁=$\frac{\frac{R}{tan30°}}{v}$=$\frac{\sqrt{3}v}{2g}$
在第二象限時間為：t₂=$\frac{1}{3}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{πv}{3g}$
根據幾何關系可得C點縱坐標為：R+Rsin30°=$\frac{3{v}^{2}}{4g}$
粒子在第二象限做類平拋運動，有：$\frac{3{v}^{2}}{4g}$=$\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$
而加速度為：a=2g
在第三象限的時間為：t₃=$\frac{\sqrt{3}v}{2g}$
所以粒子從A點到D點的時間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+3\sqrt{3}）v}{3g}$
答：（1）（1）E₁與E₂的比值為$\sqrt{3}$．
（2）粒子從A點運動到x軸負半軸上D點的時間為$\frac{（π+3\sqrt{3}）v}{3g}$．

點評 做好本題的關鍵是一是要弄清各個過程實質，這樣才能由相應運動規(guī)律求時間，二是要注意細節(jié)問題，由于均未告訴A、C、D的坐標，所以只有求出粒子在第一象限的圓周運動半徑，才能知道每一段的幾何關系，也才能求出第一段時間．