Question

20．如圖所示，水平傳送帶長為L，以速度v₁順時針勻速運動，小物體P質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點）、Q質(zhì)量為M，由通過定滑輪且不可伸長的輕繩相連，P與傳送帶之間摩擦系數(shù)為μ．t=0時刻P在傳送帶左端具有速度v₂，P與定滑輪間的繩水平，t=t₀時刻P離開傳送帶．不計定滑輪質(zhì)量和摩擦，繩足夠長，重力加速度為g．
（1）若v₂大于v₁，求P剛滑上傳送帶時加速度的大��；
（2）若v₂=10m/s，v₁=4m/s，M=1kg，m=4kg，μ=0.5，L=10m，求t₀的取值；
（3）若v₂=10m/s，v₁=4m/s，M=2kg，m=3kg，μ=1/3，L=20m，求t₀的取值．

Answer 1

分析 （1）對PQ受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度；
（2）滑塊先減速運動，經(jīng)時間t₁達到共速，又滑塊最大靜摩擦力大于Mg，此后保持勻速運動，根據(jù)運動學公式求得時間；
（3）滑塊先減速運動，經(jīng)時間t₃達到共速，又滑塊最大靜摩擦力小于Mg，然后經(jīng)時間t₄先減速為零，再反向加速運動，最后經(jīng)時間t₅滑離傳送帶得

解答 解：（1）滑塊剛沖上傳送帶時，相對傳送帶向右運動，受滑動摩擦力向左
對P：μmg+T=ma₁
對Q：Mg-T=Ma₁
聯(lián)立解得${a}_{1}=\frac{Mg+μmg}{M+m}$
（2）滑塊先減速運動，經(jīng)時間t₁達到共速，又滑塊最大靜摩擦力大于Mg，此后保持勻速運動
減速階段的加速度為${a}_{1}=\frac{Mg+μmg}{M+m}$=6m/s²
達到共同速度所需時間${t}_{1}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{10-4}{6}s=1s$
此過程物體P前進的位移為${x}_{1}=\frac{{v}_{2}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{10+4}{2}×1m=7m$
勻速運動的時間為t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{10-7}{4}s$=0.75 s
t_總=t₁₊ t₂=1.75 s
（3）滑塊先減速運動，經(jīng)時間t₃達到共速，又滑塊最大靜摩擦力小于Mg，然后經(jīng)時間t₄先減速為零，再反向加速運動，最后經(jīng)時間t₅滑離傳送帶得
${a}_{1}=\frac{Mg+μmg}{M+m}$=5 m/s²，
達到共同速度前所需時間${t}_{3}=\frac{{v}_{3}-{v}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{10-4}{5}s$=1.2 s，
通過的位移為${x}_{3}=\frac{{v}_{2}+{v}_{1}}{2}{t}_{3}$=8.4 m
達到共同速度后繼續(xù)減速運動，此時的加速度為${a}_{4}=\frac{Mg-μmg}{M+m}$=2 m/s²
減速到零所需時間為
${t}_{4}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{4}}=\frac{4}{2}$=2 s
通過的位移為${x}_{4}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{4}$=4 m
方向加速階段${x}_{3}+{x}_{4}=\frac{1}{2}{{a}_{4}t}_{5}^{2}$，解得t₅=$2\sqrt{\frac{31}{10}}$s
t_總=t₃+t₄+t₅=3.2+$2\sqrt{\frac{31}{10}}$s
答：（1）若v₂大于v₁，P剛滑上傳送帶時加速度的大小為$\frac{Mg+μmg}{M+m}$；
（2）若v₂=10m/s，v₁=4m/s，M=1kg，m=4kg，μ=0.5，L=10m，t₀的取值為1.75s；
（3）若v₂=10m/s，v₁=4m/s，M=2kg，m=3kg，μ=1/3，L=20m，t₀的取值為3.2+$2\sqrt{\frac{31}{10}}$s．

點評 本題主要考查了物體在傳送帶上的運動過程，分清過程是關(guān)鍵，特別注意摩擦力方向的改變