Question

如圖所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi)，兩導軌間的距離為L，導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，兩根導體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．設(shè)兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：
（1）在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少？
（2）當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？

Answer 1

分析：本題中兩根導體棒的運動情況：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流．a(chǎn)b棒受到的與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速，兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動，由于平行金屬導軌位于同一水平面且兩棒均可沿導軌無摩擦地滑行，故由兩棒組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動量守恒mv₀=2mv，v=

1

2

v0，這是第一問再由能量守恒求出焦耳熱的關(guān)鍵；第二問設(shè)ab棒的速度變?yōu)?span id="8iwksad" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

4

v

0

時，cd棒的速度為v'，先由動量守恒mv0=m

3

4

v0+mv′求得v′=

1

4

v

0

，再由動生電動勢公式E=BLv確定回路總電動勢 E=

3

4

BLv0-

1

4

BLv0=

1

2

BLv0，電路知識回路中的電流為 I=

E

2R

=

BLv0

4R

，磁場知識通電導線在磁場中受安培力F=BIL，確定此時cd棒所受的安培力為 F=BIL=

B2L2v0

4R

，最后由牛頓第二定律F=ma求出cd棒的加速度．

解答：解：（1）從開始到兩棒達到相同速度v的過程中，兩棒的總動量守恒，有 mv₀=2mv，v=

1

2

v0
根據(jù)能量守恒定律，整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(2m)v2=

1

4

m

v

2 0

在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是

1

4

m

v

2 0

（2）設(shè)ab棒的速度變?yōu)?span id="f7b7ysa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

4

v

0

時，cd棒的速度為v'，則由動量守恒可知mv0=m

3

4

v0+mv′解得v′=

1

4

v

0

此時回路中的電動勢為 E=

3

4

BLv0-

1

4

BLv0=

1

2

BLv0
此時回路中的電流為 I=

E

2R

=

BLv0

4R

此時cd棒所受的安培力為 F=BIL=

B2L2v0

4R

由牛頓第二定律可得，cd棒的加速度a=

F

m

=

B2L2v0

4mR

cd棒的加速度大小是

B2L2v0

4mR

，方向是水平向右．

點評：第一問是動量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用問題，分析兩棒組成的系統(tǒng)在運動過程中是不是合外力為零或者內(nèi)力遠大于外力的系統(tǒng)總動量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關(guān)鍵，之后分析這類電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化較易：系統(tǒng)減少的動能轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱；第二問求棒的瞬時加速度問題較為復雜：是動生電動勢、動量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．