Question

6．如圖所示，已知傾角為θ=45°、高為h的斜面固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）處自由下落，與斜面做無能量損失的碰撞后水平拋出．小球自由下落的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離x滿足一定條件時(shí)，小球能直接落到水平地面上．重力加速度為g，求
（1）小球自由下落的落地距離斜面左側(cè)的水平距離為x₀時(shí)，小球落到斜面上時(shí)的速度大�。�
（2）小球落到水平地面上的速度大�。�
（3）小球與斜面碰撞一次則落地可能運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出自由下落的高度，結(jié)合速度位移公式求出小球落到斜面上的速度大小．
（2）對(duì)整個(gè)過程運(yùn)用機(jī)械能守恒，求出小球落到水平地面上的速度大小．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出自由下落和平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)知識(shí)求出時(shí)間的最大值．

解答 解：（1）小球自由下落的落地距離斜面左側(cè)的水平距離為x₀時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系得，小球自由下落的高度h′=H-（h-x₀）=H-h+x₀，
根據(jù)${v}_{1}=\sqrt{2gh′}$=$\sqrt{2g（H-h+{x}_{0}）}$．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
小球落地的速度v=$\sqrt{2gH}$．
（3）小球自由下落的高度h₁=H-h+x，則自由下落的時(shí)間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$，
小球平拋運(yùn)動(dòng)的高度h₂=h-x，則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，
小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，
${t}^{2}=\frac{2H}{g}+\frac{4\sqrt{（H-h+x）（h-x）}}{g}$，當(dāng)H-h+x=h-x，即x=h-$\frac{H}{2}$時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，
代入解得${t}_{m}=2\sqrt{\frac{H}{g}}$．
答：（1）小球落到斜面上時(shí)的速度大小為$\sqrt{2g（H-h+{x}_{0}）}$．
（2）小球落到水平地面上的速度大小為$\sqrt{2gH}$．
（3）小球與斜面碰撞一次則落地可能運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為$2\sqrt{\frac{H}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒與自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，既要把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，更要抓住它們之間的聯(lián)系，比如幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解極值．