Question

1．微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性．對于氫原子模型，因為原子核的質(zhì)量遠大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運動，形成類似天文學(xué)中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ．另一種模型認為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型Ⅱ．已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動能分別用E_kⅠ、E_kⅡ表示，請通過定量計算來比較E_kⅠ、E_kⅡ的大小關(guān)系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期T_Ⅰ和T_Ⅱ；
（3）通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請分析這樣簡化處理的合理性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖定律與牛頓第二定律，結(jié)合動能表達式，即可求解；
（2）根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律，及向心力表達式，即可求解；
（3）依據(jù)兩個周期之比，結(jié)合兩質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．

解答 解：（1）模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運動，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：E_kI=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v₁、v₂，電子的運動半徑為r₁，原子核的運動半徑為r₂．根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律
對電子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{1}$
對于原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{M{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：${E}_{k2}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{2}$
系統(tǒng)的總動能：E_kⅡ=E_k1+E_k2=$\frac{k{e}^{2}}{2r}（{r}_{1}+{r}_{2}）$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
即在這兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等．
（2）模型Ⅰ中，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{I}^{2}}$
解得：T_I=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$
模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為T_Ⅱ
根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律
對電子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{1}$，
解得：r₁=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}m}$
對原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{2}$，
解得：r₂=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}M}$
因r₁+r₂=r，將以上兩式代入，可解得：T_II=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$
（3）所以有，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{II}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$  
因為M＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．
答：（1）E_kⅠ、的大小為$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，E_kⅡ的大小$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等；
（2）模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$和$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$；
（3）因為M＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

點評 考查庫侖定律和牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握向心力與動能表達式，理解庫侖引力提供向心力的內(nèi)容，注意符號運算是解題的難點．