Question

從陰極K發(fā)射的電子經(jīng)電勢(shì)差U₀=5000V的陽(yáng)極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長(zhǎng)L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L₂=75cm處放置一個(gè)直徑D=20cm、帶有紀(jì)錄紙的圓筒．整個(gè)裝置放在真空內(nèi)，電子發(fā)射時(shí)的初速度不計(jì)，如圖1所示，若在金屬板上加上U=1000cos2πt（V）的交流電壓，并使圓筒繞中心軸按圖示方向以n=2r/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）以電子不偏轉(zhuǎn)時(shí)打在記錄紙上的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為y軸，水平方向?yàn)棣容S，試計(jì)算電子打到記錄紙上的最高點(diǎn)的y坐標(biāo)和θ坐標(biāo)．
（2）分析電子在紀(jì)錄紙上（圖2）的軌跡形狀并畫(huà)出從t=0開(kāi)始的1s內(nèi)所紀(jì)錄到的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出電子加速后的入射速度．電子在AB板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在BD間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求得電子飛離金屬板時(shí)的豎直偏轉(zhuǎn)距離y₁和豎直方向的分速度v_y，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得電子從飛離金屬板到達(dá)圓筒時(shí)的偏距y₂，在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距為y=y₁+y₂．
（2）根據(jù)上題的結(jié)論得到在記錄紙上的點(diǎn)以振幅和周期，由于記錄紙上的點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故可畫(huà)出在1 s內(nèi)紙上的圖形．

解答：解：（1）對(duì)電子的加速過(guò)程，由動(dòng)能定理得：eU₀=

1

2

mv₀²
得電子加速后的速度v₀=

2eU0 m

=

2×1.6×10-19×5000 0.91×10-30

m/s=4.2×10⁷m/s
電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，由于在其中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極短，可忽略運(yùn)動(dòng)期間偏轉(zhuǎn)電壓的變化，認(rèn)為電場(chǎng)是穩(wěn)定的，因此電子做類(lèi)平拋的運(yùn)動(dòng)．如圖所示．

交流電壓在A、B兩板間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 E=

U

d

=2.5×104?cos2πtV/m
電子飛離金屬板時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離   y1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

eE

m

(

L1

v0

)2
電子飛離金屬板時(shí)的豎直速度   vy=at1=

eE

m

?

L1

v0

電子從飛離金屬板到到達(dá)圓筒時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離   y2=vyt2=

eE?L1L2

m v 2 0

所以在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏轉(zhuǎn)距離為
y=y1+y2=(

L1

2

+L2)?

eEL1

m v 2 0

=(

L1

2

+L2)

L1U2

2dU0

=0.20cos2πt m
記錄紙上最高點(diǎn)坐標(biāo)（π，20cm）；（2π，20cm）
（2）可見(jiàn)，在紀(jì)錄紙上的點(diǎn)在豎直方向上以振幅0.20m、周期T=1s做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故轉(zhuǎn)一周在紙上留下的是前半個(gè)余弦圖形，接著的一周中，留下后半個(gè)圖形，合起來(lái)，1s內(nèi)，在紙上的圖形如圖所示．

答：（1）電子打到記錄紙上最高點(diǎn)和θ的坐標(biāo)（π，20cm）；（2π，20cm）．
（2）畫(huà)出從t=0開(kāi)始的1s內(nèi)所紀(jì)錄到的圖形如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子電子在組合電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析電子的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究是關(guān)鍵．