Question

如圖所示，豎直放置的質量為4m、長為L的圓管頂端塞有一個可看作質點的彈性圓球，彈性圓球的質量為m，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由下落，落地后向上彈起的速度與落地速度大小相等．試求：
（1）圓管底端落地前瞬間的速度；
（2）圓管彈起后圓球不致滑落，L應滿足什么條件．
（3）圓管上升的最大高度是多少？

Answer 1

（1）取豎直向下為正方向，則：
根據v02=2gH得，
圓管第一次碰地前的瞬時速度v₀=

2gH

，方向豎直向下
（2）碰地后瞬間，管的速度v_管=-

2gH

，球的速度v_球=

2gH

．球相對管的速度v_相=2

2gH

．
碰后，管受重力作用及向下的摩擦力作用，加速度a_管=2g；球受重力和向上的摩擦力作用，加速度a_球=-3g．球相對管的加速度a_相=-5g．
以管為參考系，則球與管相對靜止前，球相對管下滑的距離為：
s_相1=

0-v相2

2a相

=

-(2 2gH )2

2×(-5g)

=

4

5

H
要使球不滑出圓管，應滿足：L＞s_相1=

4

5

H
（3）設管從碰地到它彈到最高點所需時間為t₁（設球與管這段時間內摩擦力方向不變），則：
t₁=

v管

a管

=

2gH

2g

．
設管從碰地到與球相對靜止所需的時間為t₂，則：
t₂=

v相

a相

=

2 2gH

5g

．
因為t₁＞t₂，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升到最高點．設球和管達相對靜止時的高度為h′，共同速度為v′，則：
h′=v_管t₂-

1

2

a_管t12=

12

25

H
v′=v_管-a_管t₂=

1

5

2gH

此后，球和管以初速度v′豎直上拋．設再上升的高度為h″，則：
h″=

v′2

2g

=

1

25

H
因此，管上升的最大高度H′=h′+h″=

13

25

H．
答：（1）圓管底端落地前瞬間的速度為

2gH

，方向豎直向下．
（2）圓管彈起后圓球不致滑落，L應滿足L＞

4

5

H．
（3）圓管上升的最大高度是

1

25

H．