Question

5．如圖所示，水平地面上方MN邊界右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強磁場和豎直方向的均強磁場，磁感應強度B=1.0T，在邊界MN離地面高h=3m處的A點，質(zhì)量m=0.1kg，電荷量q=0.1C的帶正電的小球（可視為質(zhì)點）以速度v₀水平進入右側(cè)的勻強磁場和勻強電場的區(qū)域，小球進入右側(cè)區(qū)域恰能做勻強圓周運動，g取10m/s²．
（1）求電場強度的大小和方向；
（2）若0＜v₀≤2m/s，求小球在電磁場區(qū)域中運動的最短時間t₁；
（3）若0＜v₀≤2m/s，求小球落在水平地面上的范圍．

Answer 1

分析 （1）帶電小球受三個力作用下恰好做勻速圓周運動，則兩個恒力電場力和重力平衡抵消．從而求出電場強度大小和方向．
（2）顯然速度越大，半徑越大，偏轉(zhuǎn)角度越小，時間越短．即以v₀=2m/s的速度進入磁場時運動時間最短．由幾何關系求出偏轉(zhuǎn)角度從而求出最短時間．
（3）落在最右邊的點顯然是第（2）問中時間最短的C點，至于落在左邊的D點，則是以某一速度做勻速圓周運動轉(zhuǎn)半周后離開電、磁場做類平拋運動．寫出平拋運動的水平位移表達式，由表達式就能求出當速度取何值時，水平位移有最大值．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運動，電場力等于重力，qE=mg，解得E=10N/C，方向豎直向上．
（2）小球以2m/s的速度在磁場中做勻速圓周運動時間最短，由$qB{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，從而求出半徑
  $r=\frac{mv}{qB}=2m$，畫出其運動軌跡如圖大圓弧所示，由幾何關系求出∠AOC=120°，所以時間t₁=$\frac{1}{3}T=\frac{2π}{3}s$
（3）小于以2m/s的速度做勻速圓周運動打在C點，該點離N點最遠，由幾何關系得NC=rsin60°=$\sqrt{3}m$
  設小球以半徑R轉(zhuǎn)半周后離開磁場再做類平拋運動，由平拋運動規(guī)律：$h-2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
   x=v_ot，而R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
  聯(lián)立以上幾式可得當R=1m時，x有最大值，解得最大值為$\frac{\sqrt{5}}{5}m$
  所以小球落在N點右側(cè)$\sqrt{3}$m和N點左側(cè)$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范圍內(nèi)．
答：（1）電場強度的大小為10N/C，方向為豎直向上．
（2）若0＜v₀≤2m/s，小球在電磁場區(qū)域中運動的最短時間t₁為$\frac{2π}{3}s$．
（3）若0＜v₀≤2m/s，小球落在水平地面上是N點右側(cè)$\sqrt{3}$m和N點左側(cè)$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范圍內(nèi)．

點評 本題的靚點在于小球進入磁場的速度有一個范圍，當取不同的速度時，做勻速圓周運動的半徑不同，最短時間對應于速度最大的情況，至于落在地面上的范圍，