Question

10．彈簧在學校組織的趣味運動會上，某科技小組為大家提供了一個寓學于樂的游戲．如圖所示，將一質量為0.1kg的鋼球放在O點，用彈射裝置將其彈出，其實沿著光滑的半環(huán)形軌道OA和AB運動，BC段為一段長為L=2.0m的粗糙平面，DEFG為接球槽．圓弧OA和AB的半徑分別為r=0.2m，R=0.4m，小球與BC段的動摩擦因數(shù)為μ=0.7，C點離接球槽的高度為h=1.25m，水平距離為x=0.5m，接球槽足夠大，g取10m/s²．求：
（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點的速度多大？
（2）在B位置對半圓軌道的壓力多大？
（3）要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少多大？

Answer 1

分析 （1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點由重力提供向心力，可求解速度；
（2）從A到B根據(jù)動能定理求解B點的速度，在B位置時，對鋼球根據(jù)牛頓第二定律求解支持力，再根據(jù)牛頓第三定律得到壓力大小；
（3）鋼球剛好落入槽中時做平拋運動，分解為兩個方向的運動求解經(jīng)過C點的速度，從O到C點，根據(jù)動能定理有求解v₀，

解答 解：（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點有：$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$
解得：${v}_{A}=\sqrt{gr}=\sqrt{2}m/s$
（2）從A到B根據(jù)動能定理有：$mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B位置時，對鋼球：${F}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_B=5.5N
根據(jù)牛頓第三定律，鋼球對半圓軌道的壓力為5.5N；
（3）使鋼球剛好落入槽中時對鋼球：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
解得：v_C=1m/s
從O到C點，根據(jù)動能定理有：
$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{21}m/s$
故要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少為$\sqrt{21}m/s$．
答：（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點的速度為$\sqrt{2}m/s$；
（2）在B位置對半圓軌道的壓為5.5N；
（3）要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少為$\sqrt{21}m/s$．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律及平拋運動的綜合運用，知道最高點和最低點向心力的來源，結合牛頓第二定律和動能定理進行求解．