Question

4．如圖所示，水平地面上固定一個(gè)半徑為R=0.8m的四分之一光滑圓軌道，圓軌道末端水平并與一個(gè)足夠長(zhǎng)的勻質(zhì)木板的左端等高接觸但不連接．木板的質(zhì)量為M=2kg，其左端有一個(gè)處于靜止?fàn)顟B(tài)的小物塊a，質(zhì)量為m_a=1kg．現(xiàn)將一質(zhì)量為m_b=3kg的小物塊b由圓軌道最高點(diǎn)無初速度釋放，并與物塊a在圓軌道最低點(diǎn)發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短且碰撞過程中無機(jī)械能損失（物塊a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10m/s²）
（1）求碰后瞬間兩物塊的速度大�。�
（2）若兩個(gè)小物塊a、b與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₁=0.3，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，求最終兩個(gè)小物塊a、b間的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊b下滑的過程，滿足機(jī)械能守恒定律，由此列式求b滑到圓軌道底端時(shí)的速度．對(duì)于兩個(gè)物塊碰撞的過程，由動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒列式，可求得碰后瞬間兩物塊的速度大�。�
（2）碰后，a、b在木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出三者的加速度．設(shè)物塊b與木板共速時(shí)的速度為v₁，時(shí)間為t₁，根據(jù)速度公式求出v₁和t₁．此后物塊b與板相對(duì)靜止一起減速到速度為零，再對(duì)b與木板整體，求得加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出整體滑行的時(shí)間．最后由位移公式求解．

解答 解：（1）對(duì)物塊b沿光滑圓軌道下滑的過程，由機(jī)械能守恒得：
${m}_gR=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4m/s，
兩物塊相碰撞得過程中，由于碰撞時(shí)間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，滿足動(dòng)量守恒，以初速度為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
m_bv₀=m_bv_b+m_av_a，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{{v}_}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{a}}^{2}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v_b=2m/s，v_a=6m/s
（2）物塊a、b做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小分別為：
${a}_{a}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g}{{m}_{a}}=3m/{s}^{2}$，
a_b=$\frac{{μ}_{1}{m}_g}{{m}_}$=μg=3m/s²．
木板做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
${a}_{M}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g+{μ}_{1}{m}_g-{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_+M）}{M}=3m/{s}^{2}$
物塊b與木板共速時(shí)的速度為v₁，時(shí)間為t₁，則有：
v₁=v_b-a_bt₁=a_Mt₁，
解得：v₁=1m/s，${t}_{1}=\frac{1}{3}s$
此后物塊b與板相對(duì)靜止一起減速到速度為零的時(shí)間為t₂，加速度大小為：
${a}_{共}=\frac{{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_+M）{-μ}_{1}{m}_{a}g}{M+{m}_}=\frac{3}{5}m/{s}^{2}$，
則0=v₁-a_共t₂
解得：${t}_{2}=\frac{5}{3}s$，
綜上，物塊a整個(gè)過程中的對(duì)地位移為x_a，物塊b整個(gè)過程中的對(duì)地位移為x_b，則有：
${x}_=\frac{{v}_+{v}_{1}}{2}{t}_{1}+\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{4}{3}m$，
${x}_{a}=\frac{{{v}_{a}}^{2}}{2{a}_{a}}=6m$，
所以最終兩物塊間距 $△x=\frac{14}{3}m$．
答：（1）碰后瞬間a、b兩物塊的速度大小分別是6m/s和2m/s；
（2）最終兩個(gè)小物塊a、b間的距離是$\frac{14}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，采用隔離法和整體法結(jié)合分析三個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的加速度和位移．