Question

（2010?湖南模擬）如圖所示，磁感應(yīng)強度為B的條形勻強磁場區(qū)域的寬度都是d_l，相鄰磁場區(qū)域的間距均為d₂，x軸的正上方有一電場強度大小為E，方向與x軸和B均垂直的勻強電場區(qū)域．將質(zhì)量為m、帶正電量為q的粒子從x軸正上方h高度處自由釋放．（重力忽略不計）
（1）求粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r；
（2）若粒子只經(jīng)過第1和第2個磁場區(qū)域回到x軸，求自釋放到回到x軸所需要的時間t；
（3）若粒子以初速度v₀從h處沿x軸正方向水平射出后，最遠(yuǎn)到達(dá)第k個磁場區(qū)域并回到x軸．求d_l、d₂應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理求出粒子進(jìn)入磁場的速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑的大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式求出在電場中的運動時間，粒子在磁場區(qū)域運動合成半圓弧，根據(jù)周期公式求出在磁場中運動的時間，根據(jù)幾何關(guān)系求出在無磁場區(qū)域運行的位移，結(jié)合運動學(xué)公式求出在無磁場區(qū)域運行的時間，從而得出總時間．
（3）粒子以初速度v₀從h處沿x軸正方向水平射出后，最遠(yuǎn)到達(dá)第k個磁場區(qū)域并回到x軸．則粒子在磁場區(qū)域的運動由2k-1個圓弧組成，并且2k-1個圓弧合并為一段圓弧．結(jié)合幾何關(guān)系以及粒子在磁場中運動的半徑公式求出d_l、d₂應(yīng)該滿足的條件．

解答：解：（1）設(shè)粒子剛進(jìn)入磁場時的速度為v
在電場區(qū)域中根據(jù)動能定理  qEh=

1

2

mv²-------------------①
磁場區(qū)域中，圓周運動 qvB=m

v2

R

-------------------②
解得 R=

2mEh qB2

-------------------③
（2）設(shè)粒子在電場中的運動時間為t₁，
根據(jù)牛頓第二定律 ma=qE
勻加速運動 

1

2

at₁²=h    解得t1=

2mh qE

---------------④
粒子在磁場區(qū)域運動合成半圓弧，時間共t2=

πm

qB

---------------⑤
設(shè)粒子離開第一個無磁場區(qū)域時，速度的水平夾角為α，有
sinα=

r2-d12

r

粒子在無磁場區(qū)域運動的路程為s=

2d2

sinα

粒子在無磁場區(qū)域運動時間為t3=

s

v

---------------⑥
解得的總時間為：
t=t₁+t₂+t₃=

2mh qE

+

πm

qB

+

2d2

2mqEh-(qBd1)2

---------------⑦
（3）粒子經(jīng)過第k個磁場區(qū)域回到x軸，則粒子在磁場區(qū)域的運動由2k-1個圓弧組成，并且2k-1個圓弧合并為一段圓�。�粒子進(jìn)入第一個磁場時，速度為v，與水平方向夾角為α
v_∥=v₀；v⊥=

2qEh m

；cosα=

v∥

v

---------------⑧
有幾何關(guān)系知，應(yīng)滿足條件（k-1）d₁＜r（1-cosα）＜kd₁---------------⑨
解得

m

qBk

(

v02+ 2qE m

-v0)＜d1＜

m

qB(k-1)

(

v02+ 2qE m

-v0)---------------⑩
粒子回到x軸的條件與d₂無關(guān)．
答：（1）粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r=

2mEh qB2

．
（2）自釋放到回到x軸所需要的時間為

2mh qE

+

πm

qB

+

2d2

2mqEh-(qBd1)2

．
（3）

m

qBk

(

v02+ 2qE m

-v0)＜d1＜

m

qB(k-1)

(

v02+ 2qE m

-v0)，粒子回到x軸的條件與d₂無關(guān)．

點評：本題考查了粒子在電場和磁場中的運動，關(guān)鍵理清粒子的運動規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系，運用牛頓第二定律、動能定理以及運動學(xué)公式進(jìn)行求解．