Question

2．豎直放置兩平行導軌處在磁感應強度為B的水平方向的勻強磁場中，磁場方向與導軌平面垂直．導軌上端跨接一阻值為R的定值電阻，導軌電阻不計．兩金屬桿a和b水平放置，電阻均為R，質(zhì)量分別為m_a和m_b，且m_b=1×10^-2Kg，它們與導軌相連，并可沿導軌無摩擦滑動，如圖所示．閉合開關(guān)S，先固定b，用F=0.4N的恒力向上拉a，穩(wěn)定后a以v₁=10m/s的速度勻速運動，此時再釋放b，b恰好保持靜止．設(shè)導軌足夠長，取g=10m/s²．
（1）求a桿的質(zhì)量m_a；
（2）若將金屬棒a固定，讓金屬棒b自由滑下（開關(guān)仍閉合），求b滑行的最大速度v₂；
（3）若斷開開關(guān)，將金屬棒a和b都固定，使磁感應強度從B隨時間均勻增加，經(jīng)0.1s后磁感應強度增到2B時，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，求兩金屬棒間的距離h？

Answer 1

分析 （1）a棒勻速運動時，拉力與重力、安培力平衡，b棒靜止時，b棒的重力與安培力平衡，兩棒中電流關(guān)系為 I_b=$\frac{{I}_{a}}{2}$，聯(lián)立解得m_b．
（2）先分析a棒勻速運動時，由平衡條件求得a棒的速度，將金屬棒a固定，讓金屬棒b自由滑下時，勻速運動時速度最大．根據(jù)平衡條件得到速度的表達式．將兩種情況的速度聯(lián)立解得v₂；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律得到E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{BLh}{t}$，由題意知，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，有mag=2BIL，而I=$\frac{E}{2R}$，聯(lián)立可解得兩金屬棒間的距離h．

解答 解：（1）a棒勻速運動，有 F=m_ag+BI_aL
b棒靜止，由于a桿是電源，b桿與定值電阻R并聯(lián)，則有  I_b=$\frac{{I}_{a}}{2}$
b桿所受的安培力與重力平衡，則得  m_bg=BI_bL
聯(lián)立得 m_a=2×10^-2kg
（2）當a以v₁勻速運動時a棒中電流為：I_a=$\frac{BL{v}_{1}}{R+\frac{1}{2}R}$，
b恰好保持靜止，有  m_bg=BI_bL=$\frac{B{I}_{a}L}{2}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2•\frac{3}{2}R}$
當b自由滑下至勻速運動時：I_b′=$\frac{BL{v}_{2}}{\frac{3}{2}R}$
由平衡條件有 m_bg=BI_b′L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{\frac{3}{2}R}$ 
聯(lián)立得  v₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$=5m/s
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律有，E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{BLh}{t}$，
又 I=$\frac{E}{2R}$
由題意得  m_ag=2BIL
由上式：m_bg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2•\frac{3}{2}R}$，得 R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3{m}_g}$
聯(lián)立得 h=$\frac{{v}_{1}t{m}_{a}}{3{m}_}$
代入數(shù)值，得h=$\frac{2}{3}$m
答：
（1）a桿的質(zhì)量m_a是2×10^-2kg；
（2）b滑行的最大速度v₂是5m/s．
（3）兩金屬棒間的距離h是$\frac{2}{3}$m．

點評 本題中兩根棒都處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件列方程，同時要分析兩棒之間的聯(lián)系，從力和能量兩個角度研究雙桿問題．