2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導二十五

難點25  圓錐曲線綜合題

圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，與圓錐曲線有關的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識和三角、復數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結(jié)果的完整.

●難點磁場

(★★★★)若橢圓=1(a＞b＞0)與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，求a、b所滿足的條件，并畫出點P(a,b)的存在區(qū)域.

●案例探究

［例1］已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y²=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？

(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？

命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學生綜合、靈活處理問題的能力，屬

★★★★★級題目.

知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識.

錯解分析：在判斷d與R的關系時，x₀的范圍是學生容易忽略的.

技巧與方法：對第(2)問，需將目標轉(zhuǎn)化為判斷d=x₀+與R=的大小.

解：(1)設圓心k(x₀,y₀),且y₀²=2ax₀,

圓k的半徑R=|AK|=

∴|MN|=2=2a(定值)

∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.

(2)設M(0,y₁)、N(0,y₂)在圓k：(x－x₀)²+(y－y₀)²=x₀²+a²中，

令x=0，得y²－2y₀y+y₀²－a²=0

∴y₁y₂=y₀²－a²

∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.

∴|OM|+|ON|=|y₁|+|y₂|=2|OA|=2a.

又|MN|=|y₁－y₂|=2a

∴|y₁|+|y₂|=|y₁－y₂|

∴y₁y₂≤0，因此y₀²－a²≤0,即2ax₀－a²≤0.

∴0≤x₀≤.

圓心k到拋物線準線距離d=x₀+≤a,而圓k半徑R=≥a.

且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.

［例2］如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合.屬★★★★★級題目.

知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.

錯解分析：在第(1)問中，要注意驗證當2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點.

技巧與方法：第(1)問中，若注意到x_A,x_D為一對相反數(shù)，則可迅速將||AB|－|CD||化簡.第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法.

解：(1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a²=m,b²=m－1,c²=a²－b²=1

∴橢圓的焦點為F₁(－1,0),F₂(1,0).

故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=±,即x=±m.

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考慮方程組,消去y得：(m－1)x²+m(x+1)²=m(m－1)

整理得：(2m－1)x²+2mx+2m－m²=0

Δ=4m²－4(2m－1)(2m－m²)=8m(m－1)²

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，x_B+x_C=.

又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上

∴|AB|=|x_B－x_A|==(x_B－x_A)?,|CD|=(x_D－x_C)

∴||AB|－|CD||=|x_B－x_A+x_D－x_C|=|(x_B+x_C)－(x_A+x_D)|

又∵x_A=－m,x_D=m,∴x_A+x_D=0

∴||AB|－|CD||=|x_B+x_C|?=||?= (2≤m≤5)

故f(m)=，m∈［2,5］.

(2)由f(m)=，可知f(m)=

又2－≤2－≤2－

∴f(m)∈［］

故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5.

［例3］艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應是多少？

命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程.

錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應對方位角的概念掌握清楚.

技巧與方法：通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼�，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.

解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(－3，0)、(－5，2).

由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x－3y+7=0.

又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上.

直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.

據(jù)已知兩點的斜率公式，得k_PA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應是北偏東30°.

設發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v₀=，則,

∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.

●錦囊妙計

解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.

(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.

(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

二、填空題

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

三、解答題

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

難點磁場

解：由方程組消去y,整理得(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²)=0                      ①

則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程①在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實根，令f(x)=(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²),則有

同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區(qū)域為下圖所示的陰影部分：

殲滅難點訓練

一、1.解析：由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).

直線AC所在方程為x－3y+2=0,

點B到該直線的距離為d=.

∵m∈(1,4),∴當時，S_△ABC有最大值，此時m=.

答案：B

2.解析：考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x²+y²=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值.

答案：C

二、3.解析：設橢圓方程為=1(a＞b＞0),以OA為直徑的圓：x²－ax+y²=0,兩式聯(lián)立消y得x²－ax+b²=0.即e²x²－ax+b²=0,該方程有一解x₂,一解為a,由韋達定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.

答案：＜e＜1

4.解析：由題意可設拋物線方程為x²=－ay,當x=時，y=－；當x=0.8時，y=－.由題意知≥3,即a²－12a－2.56≥0.解得a的最小整數(shù)為13.

答案：13

5.解析：設P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)

∵BP⊥PQ,∴=－1,

即t²+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0.即s²+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1.

答案：(－∞,－3∪1,+∞)

三、6.解：設A(x₁,y₁）,B(x₂,y₂).

由,得(1－k²）x²+2kx－2=0,

又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點，

故有

解得－＜k＜－1

7.解：由拋物線y²=4x,得焦點F(1,0),準線l：x=－1.

(1)設P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y²=x－1(x＞1).

(2)設Q(x,y),則|MQ|=?

(?)當m－≤1,即m≤時，函數(shù)t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值.

(?)當m－＞1,即m＞時，函數(shù)t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－處有最小值m－,∴|MQ|_min=.

8.解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.

設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲線C的方程為+y²=1.

(2)設直線l的方程為y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.由圖可知=λ

由韋達定理得

將x₁=λx₂代入得

兩式相除得

                             ①

M在D、N中間，∴λ＜1                                                             ②

又∵當k不存在時，顯然λ= (此時直線l與y軸重合).