北京市西城區(qū)2009年3月高三抽樣測試

      數(shù)學(xué)理科      2009.3

       本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）。滿分150分，考試時間120分鐘。

第I卷（選擇題，共40分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

2．若的     （    ）

A．充分不必要條件     B．必要不充分條件     C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

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3．已知函數(shù)的反函數(shù). 若的圖象過點(diǎn)（3，4），則a等于（    ）       A．  B．  C．  D．2

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4．在正三棱錐P―ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個論斷：

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①；    ②AC//平面PDE；       ③.

其中正確論斷的個數(shù)為                     （    ）

       A．0個  B．1個  C．2個  D．3個

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5．若的值為    （    ）

       A．9      B．8       C．7       D．6

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6．已知a，b是不共線的向量，R）那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為  （    ）

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       A．         B．        C．=－1         D．=1

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7．設(shè)雙曲線的半焦距為c，離心率為.若直線與雙曲線的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c，則k等于                     （    ）

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A． B．  C．      D．

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8．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點(diǎn)A、B、C、D、E染上

       紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不

       相同，則不同的染色方法共有      （    ）

       A．30種       B．27種      C．24種    D．21種

第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）

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二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.）

9．設(shè)甲、乙、丙三個加工廠共生產(chǎn)玩具6000件，其中甲廠生產(chǎn)了1440件. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個加工廠抽取一個容量為500件的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測，則應(yīng)從甲加工廠抽取

                 件玩具.

2,4,6

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11．=          .

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12．設(shè)R，函數(shù)的最小值是－2，則實(shí)數(shù)k=          .

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13．已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD邊長為1，高AA1=，它的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，那么球的半徑是           ；A，B兩點(diǎn)的球面距離為         .

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14．按下列程序框圖運(yùn)算：

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       規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于244”為1次運(yùn)算.

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       若x=5，則運(yùn)算進(jìn)行       次才停止；若運(yùn)算進(jìn)行k N*）次才停止，則x的取值范圍是             .

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三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15．（本小題滿分12分）

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       已知為第二象限的角，為第三象限的角，.

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   （I）求的值.

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   （II）求的值.

2,4,6

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設(shè)甲、乙兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中成功的概率均為p，且這兩套試驗(yàn)方案中至少有一套試驗(yàn)成功的概率為0.51. 假設(shè)這兩套試驗(yàn)方案在試驗(yàn)過程中，相互之間沒有影響.

   （I）求p的值；

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   （II）設(shè)試驗(yàn)成功的方案的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E.

 

 

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17．（本小題滿分14分）

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       如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=1.

   （I）求證：A1C//平面AB1D；

   （II）求二面角B―AB1―D的大小；

   （III）求點(diǎn)c到平面AB1D的距離.

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18．（本小題滿分14分）

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          設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn).

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   （I）證明：；

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   （II）若的面積取得最大值時的橢圓方程.

2,4,6

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19．（本小題滿分14分）

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       設(shè)a>0，函數(shù).

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   （I）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

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   （II）求在區(qū)間上的最大值.

 

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20．（本小題滿分14分）

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       設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列. 對于滿足的整數(shù)k,

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數(shù)列確定. 記.

（I）當(dāng)k=1時，求M的值；

（II）求M的最小值及相應(yīng)的k的值.

試題詳情

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

   （I）解：因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵?sub>，

所以，，………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

   （II）解：因?yàn)棣聻榈谌笙薜慕牵?sub>，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

   （I）解：記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為

    由題意，這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1－p.

所以，，

 

從而，

令 ………………………………………6分

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學(xué)期望……12分

解法一（I）證明：

連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點(diǎn)，

又D是BC的中點(diǎn)，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點(diǎn)H，

則CH的長度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B1DB，得

即點(diǎn)C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

      
   
      
    
    
      
    
      建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，如圖，
        
（I）證明：
      連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
      設(shè)A1A
= AB = 1，
      則
       …………………………3分
      ，
       ……………………………………4分
        
（II）解：， ，
      設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
      故；
      同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
      設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
      ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
        
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
      取其單位法向量
      ∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離 ……………………14分
      18．（本小題滿分14分）
        
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故
      將，得
           
① ………………………… 3分
      由直線l與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)，得
      ，
      即 …………………………………………………… 5分
        
（II）解：設(shè)由①，得
      因?yàn)?sub>，代入上式，得  ……………8分
      于是，△OAB的面積 
                           
 ………………11分
      其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
       
      由
      將這兩組值分別代入①，均可解出
      所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
      19．（本小題滿分14分）
        
（I）解：對函數(shù) ……………………… 2分
      要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，
      即上恒成立 ……………………………………4分
      因?yàn)?sub>上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
      注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
        
（II）解：①當(dāng)時，由（I）知，上是增函數(shù)，
      此時上的最大值是 ……………………8分
      ②當(dāng)，
      解得 ……………………………………………………10分
      因?yàn)?sub>，
      所以上單調(diào)遞減，
      此時上的最大值是………… 13分
      綜上，當(dāng)時，上的最大值是；
      當(dāng)時，上的最大值是 ……………14分
      20．（本小題滿分14分）
        
（I）解：顯然 ……………………………………1分
      當(dāng) ……………………………………3分
      所以，
              
 …………………………6分
        
（II）解：
        
………………………………………………9分
        

           ………………12分
      當(dāng)
      所以，M的最小值為 ………………………………14分
       
       
      
				
	
      
		
      


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