在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，－）、（0，）的距離之和等于4.設(shè)點P的軌跡為C.

(Ⅰ)寫出C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點.k為何值時此時||的值是多少？

(22)（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)f(x)=ax³+bx²－3a²x+1(a、b∈R)在x=x₁，x=x2處取得極值，且|x₁－x₂|=2.

(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范圍.

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學（供文科考生使用）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

參考公式：

如果事件互斥，那么                                       球的表面積公式

       如果事件相互獨立，那么                                其中表示球的半徑

                                                    球的體積公式

       如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么         

       次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率                 

                        其中表示球的半徑

只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合，，則（  D  ）

A．           B．           C．             D．

答案：D

解析：本小題主要考查集合的相關(guān)運算知識。依題意 

，∴.

2．若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（  C  ）

A．          B．          C．             D．

答案：C

解析：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性。

3．圓與直線沒有公共點的充要條件是（  B  ）

A．                                  B．

C．            D．

答案：B

解析：本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系。依題圓與直線

沒有公共點

4．已知，，，，則（ C ）

A．             B．              C．              D．

答案：C

解析：本小題主要考查對數(shù)的運算。

由知其為減函數(shù),

5．已知四邊形的三個頂點，，，且，

則頂點的坐標為（  A  ）     

A．           B．        C．              D．

答案：A

解析：本小題主要考查平面向量的基本知識。

      且，

6．設(shè)P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線

傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為（  A  ）

A．             B．            C．                     D．

答案：A

解析：本小題主要考查利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率問題。依題設(shè)切點的橫坐標

為, 且（為點P處切線的傾斜角），又∵，

∴，∴

7．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，

則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（  C  ）

A．           B．           C．           D．

答案：C

解析：本小題主要考查等可能事件概率求解問題。依題要使取出的2張卡片上的數(shù)字之和

為奇數(shù)，則取出的2張卡片上的數(shù)字必須一奇一偶，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之

和為奇數(shù)的概率

8．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象，則（  A  ）

A．         B．            C．         D．

答案：A

解析：本小題主要考查函數(shù)圖像的平移與向量的關(guān)系問題。依題由函數(shù)

的圖象得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向左平移1個

單位，向下平移1個單位；故

9．已知變量滿足約束條件則的最大值為（  B  ）

A．            B．            C．             D．

答案：B

解析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域為一個三角形,其三個頂點為

      驗證知在點時取得最大值2.

10．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序

只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（  B  ）

A．24種              B．36種        C．48種        D．72種

答案：B

解析：本小題主要考查排列組合知識。依題若第一道工序由甲來完成，則第四道工序必由丙來完成，故完成方案共有種；若第一道工序由乙來完成，則第四道工序必由甲、丙二人之一來完成，故完成方案共有種；∴則不同的安排方案共有

種。

11．已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，

則（  D  ）

A．1             B．2              C．3              D．4

答案：D

解析：本小題主要考查雙曲線的知識。取

頂點,一條漸近線為

12．在正方體中，分別為棱，的中點，

則在空間中與三條直線，，都相交的直線（  D  ）

A．不存在            B．有且只有兩條        C．有且只有三條        D．有無數(shù)條

答案：D

解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生

的空間想象能力。在EF上任意取一點M,直線與M

確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N, 當

M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的

交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點的.如右圖：

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

13．函數(shù)的反函數(shù)是           ．

答案：

解析：本小題主要考查反函數(shù)問題。

      所以反函數(shù)是

14．在體積為的球的表面上有A、B，C三點，AB=1，BC=，A，C兩點的

球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_________．

答案：      

解析：本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離。設(shè)球的半徑為,則

,∴設(shè)、兩點對球心張角為，則

,∴,∴,∴為所在平

面的小圓的直徑，∴,設(shè)所在平面的小圓圓心為，

則球心到平面ABC的距離為

15．展開式中的常數(shù)項為        ．

答案：35

解析：本小題主要考查二項式定理中求特定項問題�？疾榈耐�項公式,

      所以展開式中的常數(shù)項共有兩種來源:

      ①②

      相加得15+20=35.

16．設(shè)，則函數(shù)的最小值為           ．

答案：

解析：本小題主要考查三角函數(shù)的最值問題。

      取的左半圓,作圖(略)易知

17．（本小題滿分12分）

在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．

（Ⅰ）若的面積等于，求；

（Ⅱ）若，求的面積．

本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合計算能力．滿分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因為的面積等于，所以，得．???????????????????????????? 4分

聯(lián)立方程組解得，．?????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知條件化為，?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

聯(lián)立方程組解得，．

所以的面積．?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．（本小題滿分12分）

某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結(jié)果

如下表所示：

周銷售量

2

3

4

頻數(shù)

20

50

30

（Ⅰ）根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；

（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求

（?）4周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；

（?）該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率．

本小題主要考查頻率、概率等基礎(chǔ)知識,考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分．

解：（Ⅰ）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3．?????????????????????????? 4分

（Ⅱ）由題意知一周的銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3，

故所求的概率為

    （?）．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

    （?）．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

19．（本小題滿分12分）

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個值；

（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，

考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，

又由已知可得，，，

所以，，所以平面．

所以平面和平面互相垂直．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：設(shè)交于點，連結(jié)，

所以為與平面所成的角．

因為，所以分別為

，，，的中點．

可知，．

所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

解法二：

以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間

直角坐標系D－xyz．由已知得，故

，，，

，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得

，

，

．

因為，所以是平面PQEF的法向量．

因為，所以是平面PQGH的法向量．

因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）證明：因為，所以，又，

所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．???????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由為中點可知，分別為，，的中點．

所以，，因此與平面所成角的正弦值等于

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．（本小題滿分12分）

在數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．

（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，．若，，

求數(shù)列的前項和．

本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，對數(shù)等基礎(chǔ)知識，

考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．滿分12分．

解：（Ⅰ）是等比數(shù)列．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

證明：設(shè)的公比為，的公比為，則

，故為等比數(shù)列．?????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）數(shù)列和分別是公差為和的等差數(shù)列．

由條件得，即

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

故對，，…，

．于是

將代入得，，．???????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

從而有．所以數(shù)列的前項和為

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，

設(shè)點P的軌跡為．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點．k為何值時？

此時的值是多少？

本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，

考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．

解：

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，

長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設(shè)，其坐標滿足

消去y并整理得，

故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．而，

于是．

所以時，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分

當時，，．

，

而，

所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)在，處取得極值，

且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性、極值，最值等基礎(chǔ)知識，

考查綜合利用導數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力．滿分14分

解：．①???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅰ）當時，；

由題意知為方程的兩根，所以．

由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

從而，．

當時，；當時，．

故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．???????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由①式及題意知為方程的兩根，

所以．從而，

由上式及題設(shè)知．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

考慮，．?????????????????????????????????? 10分

故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的極大值為．

又在上只有一個極值，所以為在上的最大值，且最小值為．所以，即的取值范圍為．    14分