絕密★啟用前【博恩試卷聯(lián)考版?2009屆高三第一次?數(shù)學(xué)試題?A區(qū)專用?第頁(共6頁)】博　恩　試　卷

聯(lián)　考　版

數(shù)學(xué)試題?第一次

命題　北京博恩教育數(shù)學(xué)研究室

(試卷總分150分　考試時(shí)間120分鐘)

注：本試卷以選修部分、函數(shù)部分內(nèi)容為主。

第Ⅰ卷(選擇題　共60分)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

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二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.

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三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

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1.C(系數(shù)最大項(xiàng)，即是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，2n為偶數(shù)，所以中間項(xiàng)為第n＋1項(xiàng)，故選C.)2.C(因集合有兩個(gè)不同的元素，所以方程ax²－2x＋1＝0有兩個(gè)不等的解，即 a≠0，Δ＝(－2)²－4a＞0， ∴a ＜1且a≠0.所以實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)解是－1.故選 C.)

3.D(由題意可知≠1，解得x≠1，x≠2，故選D)

4.(理)C(∵ ＝

＝ ＝.故選 C.)

(文)B(因?yàn)? f′(x)<0(a <x <b)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(a， b) 是減函數(shù)，又f(b)>0，所以函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)必有f(x)>0.故選B)

5.(理)D(珍藏系列金銀、金玉新工藝紀(jì)念章和擺件中先去掉一款，分層抽樣時(shí)每層都是整數(shù)，故選D.)

(文)B(∵＝，∴12400×＝124，故選B.)

6.(理)C(∵f(x) ＝2x²－lnx的定義域?yàn)閧x| x>0}，又f′(x)＝，令f′(x)>0即>0，由定義域?yàn)閧x| x>0}，只須解得x>，因此選C.)

(文)C(因?yàn)閒(x)＝x³＋x－2，所以f′(x)＝3x²＋1.直線y＝4x－1的斜率為4，令f′(x)＝3x²＋1＝4，得x＝±1，f(1)＝0，f(－1)＝－4.f(1)＝0，f(－1)＝－4.所以曲線f(x)＝x³＋x－2在點(diǎn)(1,0)、(－1，－4)處的切線與直線y＝4x－1平行.故選C.)

7.C(當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x＝1，f(x)＝ax²－2ax＋c，，∴ a<0，b＝－2a>0，∵ 3a＋c<0，a<0，∴ 4a＋c<0，即c<2b.選C.)

8.(理)B( 拋擲－次，正好出現(xiàn)2枚正面向上，3枚反面向上的概率為＝，Eξ＝80×＝25，故選B)

(文)D(因?yàn)椋?，s²＝；所以＝3－2＝4，

S²＝9s²＝3，故選D)

9.B(令f(x)＝x⁴－4x³－2，則f′(x)＝4x³－12x²＝4x²(x－3)，所以在區(qū)間x∈[－1,4]，f(x)_min＝f(3)＝－29.即－29＞－a，∴a>29，故選 B)

10.C(由題意知p，q中有且僅有一個(gè)真命題.

若p真，∵2x－x²＝－(x－1)²＋1≤1，()^x＋4＞4；∴ 1＜m≤4，若q真，則7－2m>1，即m<3. ∴或，即3≤m≤4或m≤1.故選C)

11.B(令x＝－2即f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函數(shù)，即 f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)， 故f(x)的周期為4.f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，f(4)＝f(0)＝0.f(2008)＝f(502×4)＝f(0)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋… ＋f(2007)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋ f (2007)＋ f (2008) ＝ 502[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝2008，故選B.)

12.(理)C(原式可看成點(diǎn)P ( 1， 3 )、Q (－，)兩點(diǎn)連線的斜率.令x＝－，y＝(0≤y≤1)；所以x²＋y²＝1(－1≤x≤0 ) .即點(diǎn)Q位于單位圓在第二象限的圓弧上且端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B (－1,0)、C (0,1). ∴k_PB＝；k_PC＝2，設(shè)過點(diǎn)P與圓弧有公共點(diǎn)的直線方程為l：kx－y－k＋3＝0，則≤1，即k≤.結(jié)合圖形綜上可知：A∈[，2].故選C.)

(文)B(思路一：令x＝，y＝.則x²＋y²＝1(x≥0，y≥0).x＝sinθ，y＝cosθ(0≤θ≤). 所以A＝x＋y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)  ，又≤θ＋≤.則A ∈[1，]，故選B.

思路二：A²＝1＋2＝1＋2，當(dāng)m＝時(shí)，A²最大值為2；當(dāng)m＝1或4時(shí)，A²最小值為1.又∵A＞0，則A∈[1，]，故選B.)

13.(理)0(因?yàn)閒(x₁)＝f(x₂)＝2008，所以x₁＋x₂＝－.則f(x₁＋x₂)＝0.故答案為0)

(文) (原式＝2log₃2－5log₃2＋2＋3log₃2＋＝，故答案為 )

14.(理) (首先對(duì)這20個(gè)數(shù)按被3除的余數(shù)分類①1,4,7,10,13,16,19.②2,5,8,11,14,17,20.③3,6,9,12,15,18. 故所求的概率是＝ .故答案為 )

(文)(因?yàn)榇藛栴}可看成編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)人進(jìn)行摸獎(jiǎng)且每人摸一張， 編號(hào)為k的人摸到一號(hào)獎(jiǎng)券，又每人摸到每一個(gè)號(hào)的概率相同.故答案為.)

15.300(小于90km/h的概率為0.01＋0.02＋0.04＝0.07，所以不小于90km/h的概率為0.03，共由1000輛汽車，所以這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有300輛，故答案為300.)

16.9(因?yàn)楹瘮?shù)解析式為y＝x²且值域?yàn)閧1,4}，所以x＝±1，±2.故“同族函數(shù)”共有C ?C＋2C ?C＋C ?C ＝9，故答案為9.)

17.解：(1)當(dāng) x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝－(x)²＋2(－x)＝－x²－2x　　1分

       又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－x²－2x，

∴f(x)＝x²＋2x，∴m＝2，y＝f(x)的

圖象如右所示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

 

(2)由(1)知

f(x)＝ ，由圖象可知，f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，

要使地f(x)在[－1，|a|－2]上單調(diào)遞增，

只需　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

解之得－3≤a<－1或1<a≤310分

18.解：(1)因?yàn)?f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a²＋6a＋b－3，∵f(1)＞0　∴ a²－6a＋3－b<0，Δ＝24＋4b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

當(dāng)b ≤－6時(shí)，Δ≤0，∴f(1)＞0的解集為Φ　　　　　　　　　　4分

當(dāng)b＞－6時(shí)，3－＜a ＜3＋.

∴f(1)＞0的解集為{a|3－<a<3＋}　　　　　　　　　6分

(2)∵ 不等式－3x²＋a(6－a)x＋b＞0的解集為(－1,3)

∴f(x)＞0與不等式(x＋1)(x－3)＜0同解　　　　　　　　　　　　8分

∵3x²－a(6－a)x－b＜0解集為(－1,3)　　　　　　　　　　　　　10分

∴，解之得　　　　　　　　　　　12分

19.解：(理)(1)設(shè)連對(duì)的個(gè)數(shù)為y，得分為ξ，則y＝0,1,2,4

 因此ξ的所有可能的取值為0,2,4,8　　　　　　　　　　　　2分

P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝8)＝＝.　　9分

數(shù)學(xué)?第頁(見反面)所以ξ的分布列為

ξ

0

2

4

8

P

10分

(2)Eξ＝0×＋2×＋4×＋8×＝2

答：該愛好者得分的數(shù)學(xué)期望為2　　　　　　　　　　　　　　　12分

(文)(1)抽出的產(chǎn)品中恰有1件正品的可能情況有CC＝12種　　　　　　2分

從這7件產(chǎn)品中一次性隨機(jī)抽出3件的所有可能有C＝35種　　　　　　4分

則抽出的產(chǎn)品中恰有1件正品數(shù)的概率為＝　　　　　　　　　……6分

(2)抽出的產(chǎn)品中正品件數(shù)不少于次品件數(shù)的可能情況有CC＋CC＋C＝31種　9分

從這7件產(chǎn)品中一次性隨機(jī)抽出4件的所有可能有C＝35種　　　　　11分

所以抽出的產(chǎn)品中正品件數(shù)不少于次品件數(shù)的概率為　　　　　　　12分

20.解：(理)(1)由f(x)＝－(x≤－1)得f^－1(x)＝－(x≤0)，a_n＝f^－1(a_n－1)＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

由a₁＝－1，得a₂＝－，a₃＝－，a₄＝－，猜想a_n＝－.　　　4分

①當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝－1＝－，猜想成立；　　　　　　　　　　5分

數(shù)學(xué)?第頁②設(shè)n＝k時(shí)猜想成立，即a_k＝－，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

a_k＋1＝－＝－

＝－，即猜想對(duì)n＝k＋1時(shí)也成立.

由①、②知，a_n＝－對(duì)一切n∈N^*成立.　　　　　　　　………8分

(2)  ＝ ＝

＝ ＝－1.　　　　　　　　　　　　12分

(文)(1)由題意得：上年度的利潤(rùn)為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)；本年度每輛車的出廠價(jià)為13×(1＋0.7x)；本年度年銷售量為5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利潤(rùn)為y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以當(dāng)0＜x＜時(shí)，本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利潤(rùn)為f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x²＋2x＋)＝3240×(0.9x³－4.8x²＋4.5x＋5)，則f′(x)＝3240×(2.7x²－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取極大值f()＝20000萬元，

因?yàn)閒(x)在(0,1)上只有一個(gè)極大值，所以它是最大值，

所以當(dāng)x＝時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬元�！　　　　　�12分

21.解：(理)(1)由題設(shè)可知，f′(x)＝3x²－4ax－3a²且f′(－1)＞0，f′(1)＜0.

即3＋4a－3a²＞0，∴＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　2分

又3－4a－3a²＜0，∴＞a或 a＞　　　　　　　　　　　　4分

 ∴＜a＜.故a＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)由題設(shè)可知，f(x)＝x³－2x²－3x，g(x)＝x³＋(1＋b)x²－b，∴g(x)－f(x)＝(b＋3)x²＋3x－b≥0在區(qū)間[－1,2]上恒成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

?)當(dāng)b＋3＝0，即b＝－3時(shí)，g(x)－f(x)＝3(x＋1)≥0在區(qū)間[－1,2]上恒成立.　　　8分

?)當(dāng) b＋3≠0，即g(x)－f(x)＝(b ＋ 3)x²＋3x－b＝(b＋3)(x ＋ 1)(x－)≥0，在區(qū)間[－1,2]上恒成立

①當(dāng)b＋3＞0，令 (b ＋ 3)(x ＋ 1)(x － )＝ 0，解得 x ＝－1； x ＝.由題設(shè)可知；x＝≤－1，即－3＜b≤－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

②當(dāng)b＋3＜0，令(b ＋ 3)(x ＋ 1)(x－)＝0，解得x＝－1；x＝.由題設(shè)可知；x＝≥2，即－6≤b＜－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

綜上可知： 實(shí)數(shù)b的取值范圍是－6≤b≤－　　　　　　　　　　　　　………12分

(文)f′(x)＝－3x²＋2ax＋b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分                

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　2分

(1)函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0　　　　　　　3分

解得a＝－2，b＝4，c＝－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

所以f(x)＝－x³－2x²＋4x－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－3x²－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

則，得b≥4，　　　　　　　　　　　　　　　10分

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4＋∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22.解：(1)①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2(1－x)≤x 得x≥.∴≤x≤1.

②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，因x－1≤x 恒成立.∴1＜x≤2.

由①②得f(x)≤x 的解集為{x|≤x≤2}.　　　　　　　　　　　　　　　　3分

       (2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，f₃(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；

  當(dāng) x＝1時(shí)，f₃(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；

  當(dāng)x＝2時(shí)，f₃(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.

即對(duì)任意x∈A，恒有f₃(x)＝x. 6分 (8分)

   (3)f₁()＝2(1－)＝，f₂()＝f(f())＝f()＝，f₃()＝f(f₂())＝f()＝－1＝，f₄()＝f(f₃())＝f()＝2(1－)＝，

   一般地，f_4k＋r()＝f_r() (k，r∈ N^*) ∴ f₂₀₀₇()＝f₃() ＝ 　　　9分　 (12分)

   (4)(理)由(1)知，f()＝，∴f_n()＝.則f₁₂()＝.∴∈B .

   由(2)知，對(duì)x＝0，或1，或2，恒有f₃(x)＝x，∴f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x.則0,1,2∈B.

    由(3)知，對(duì)x＝，，，，恒有f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x，∴，，，∈B.

  綜上所述，，0,1,2， ，，，∈B. ∴B中至少含有8個(gè)元素.　　12分