山東師大附中高三數(shù)學模擬考試試題
理科數(shù)學
第Ⅰ卷(共60分)
一. 選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.
已知集合,定義,則集合的所有真子集的個數(shù)為(
)
A.32
B
2. 如果復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位,b為實數(shù))的實部和虛部互為相反數(shù),那么b等于( )
A. B. C. D.
3.
對任意,恒成立,則的取值范圍是(
)
A. B. C.
D.
4.
已知兩個不同的平面和兩條不重合的直線,有下列四個命題:①若,則;②若,則;③若,則;④若,則;其中不正確的命題的個數(shù)為( )
A.0 B.
5.
已知某個幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位:cm),可得這個幾何體的體積是
A. B. C. D.
6.
要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像( )
A.向右平移個單位
B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位
D. 向左平移個單位
7. 已知命題,命題,若命題“” 是真命題,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.或
B. 或
C. D.
8. 橢圓的長軸為,短軸為,將橢圓沿軸折成一個二面角,使得點在平面上的射影恰好為橢圓的右焦點,則該二面角的大小為( )
A.
B.
C.
D.
9. 在區(qū)間上任取兩個數(shù),則兩個數(shù)之和小于的概率為( )
A. B. C. D.
10. 右圖是一個算法的程序框圖,該算法輸出的結(jié)果是( )
A.
B. C.
D.
11. 設(shè)函數(shù),類比課本推導等差數(shù)列的前
n項和公式的推導方法計算的值為( )
A.
B. C.
D.
12. 定義在上的函數(shù)滿足,當時,單調(diào)遞增,如果,且,則的值為( )
A.恒小于
B. 恒大于
C.可能為 D.可正可負
第Ⅱ卷(共90分)
二. 填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
一.
二.
三.
四.
五.
六.
七.
八.
九.
十.
十一.
13. 設(shè)且,則的范圍是 .
14. 設(shè),則二項式展開式中含項的系數(shù)是 .
15. 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為,點在橢圓上,且,,則該橢圓的離心率為 .
16. 給出下列四個命題中:
①命題“”的否定是“”;
②“”是“直線與直線相互垂直”的必要不充分條件;
③設(shè)圓與坐標軸有4個交點,分別為,則;
④關(guān)于的不等式的解集為,則.
其中所有真命題的序號是
.
三. 解答題(本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. (本小題滿分12分)
在中, 的對邊分別是,且滿足.
(1)求的大。
(2)設(shè)m,n,且m?n的最大值是5,求的值.
18. (本小題滿分12分)
有編號為的個學生,入坐編號為的個座位.每個學生規(guī)定坐一個座位,設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為,已知時,共有種坐法.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.
19. (本小題滿分12分)
在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1)。將△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P(如圖2)
(Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。
(III)求二面角B-A1P-F的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示)
20. (本小題滿分12分)
已知橢圓,過焦點垂直于長軸的弦長為1,且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點Q(-1,0)的直線l交橢圓于A,B兩點,交直線x=-4于點E,點Q分 所成比為λ,點E分所成比為μ,求證λ+μ為定值,并計算出該定值.
21. (本小題滿分12分)
已知函數(shù),且對于任意實數(shù),恒有。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(3)函數(shù)有幾個零點?
22. (本小題滿分14分)
已知數(shù)列中,,且
(1)求證:;
(2)設(shè),是數(shù)列的前項和,求的解析式;
(3)求證:不等式對于恒成立。
高三數(shù)學理科模擬試題答案及評分標準
三、解答題
17.(1), ,
即……………………..3分
. .
…………………………………………………………….6分
(2)m?n=,…..8分
設(shè)則.
則m?n=……………………….10分
時,m?n取最大值.
依題意得,(m?n)=…………………………………12分
18.解:(Ⅰ)當時,有種坐法, …………………………2分
,即,
,或(舍去). . ……………………4分
(Ⅱ)的可能取值是,
又, ,
,,………………………8分
的概率分布列為:
P
…………………10分
則. ……………………12分
19.不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3 .
(I)在圖1中,取BE的中點D,連結(jié)DF.
∵AEEB=CFFA=12,∴AF=AD=2,而∠A=600,
∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1,∴EF⊥AD…………2分
在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,
∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥BE.
又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP……….4分
(II)在圖2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是平面A1BP的斜線.
又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,
從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理).
設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點Q,則
∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角,…………………6分
且BP⊥A1Q.
在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=600, ∴△EBP是等邊三角形,∴BE=EP.
又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,∴Q為BP的中點,且EQ=
又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600.
所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600…………………8分
(III)在圖3中,過F作FM⊥A1P于M,連結(jié)QM,QF.
∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP是正三角形,∴PF=1.
又PQ=BP=1,∴PF=PQ. ①
∵A1E⊥平面BEP,EQ=EF=, ∴A
從而∠A1PF=∠A1PQ. ②
由①②及MP為公共邊知 △FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=900,且MF=MQ,
從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角……………10分
在Rt△A1QP中,A1Q=A
∵MQ⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=.
在△FCQ中,F(xiàn)C=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得QF=.
在△FMQ中,cos∠FMQ=
所以二面角B-A1P-F的大小為-arccos……………..12分
20.解:(1)由條件得,所以方程 ………3分
(2)易知直線l斜率存在,令
由
…………………6分
由
得 …………………8分
由
得 …………………10分
將代入
有 ……………12分
21.(1)由題設(shè)得,
,則,
所以……………………………………………………2分
所以對于任意實數(shù)恒成立
.故…………………………………………………………..3分
(2)由,求導數(shù)得
,在上恒單調(diào),只需或在上恒成立,即或恒成立,所以或在上恒成立…………………………………………………6分
記,可知:,
或………………………………………………………………….8分
(3)令,則. 令,則,列表如下.
0
1
+
0
―
0
+
0
―
遞增
極大值
遞減
極小值1
遞增
極大值
遞減
時,無零點;或時,有兩個零點;時有三個零點;時,有四個零點…………………………………………………………12分
22.(1),………………………………….1分
又因為,則,即,又,,…………………………………….4分
(2),…….5分
因為,所以
當時,
當時,,①
,②
①-②:,……………8分
.綜上所述,……………9分
(3),…………………………………..10分
又,易驗證當時不等式成立;…………………………………11分
假設(shè),不等式成立,即,兩邊乘以3得
又因為
所以
即時不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14分
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