山東師大附中高三數(shù)學模擬考試試題
理科數(shù)學

  第Ⅰ卷(共60分)

一.         選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)

1.        已知集合,定義,則集合的所有真子集的個數(shù)為(    )
A.32       B.31        C.30          D.以上都不對

2.       如果復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位,b為實數(shù))的實部和虛部互為相反數(shù),那么b等于(    )                                                        
 A.       B.       C.       D.

3.        對任意,恒成立,則的取值范圍是(    )
A.    B.    C.      D.

4.        已知兩個不同的平面和兩條不重合的直線,有下列四個命題:①若,則;②若,則;③若,則;④若,則;其中不正確的命題的個數(shù)為(    )
 A.0        B. 1         C. 2          D. 3

5.        已知某個幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位:cm),可得這個幾何體的體積是





A.           B.        C.        D.

6.        要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像(     )
A.向右平移個單位          B. 向右平移個單位 
C. 向左平移個單位         D. 向左平移個單位

7.       已知命題,命題,若命題“” 是真命題,則實數(shù)的取值范圍是(    )
A.     B.       C.      D.

8.       橢圓的長軸為,短軸為,將橢圓沿軸折成一個二面角,使得點在平面上的射影恰好為橢圓的右焦點,則該二面角的大小為(  )
A.      B.     C.      D.

9.       在區(qū)間上任取兩個數(shù),則兩個數(shù)之和小于的概率為(  )
A.   B.      C.    D.

10.    右圖是一個算法的程序框圖,該算法輸出的結(jié)果是(  )
A.           B.         C.            D.

11.    設(shè)函數(shù),類比課本推導等差數(shù)列的前
n項和公式的推導方法計算的值為(   )
A.           B.           C.           D.

12.    定義在上的函數(shù)滿足,當時,單調(diào)遞增,如果,且,則的值為(    )
A.恒小于         B. 恒大于          C.可能為       D.可正可負

第Ⅱ卷(共90分)

二.        填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)

一.     

二.     

三.     

四.     

五.     

六.     

七.     

八.     

九.     

十.     

十一.     

13.    設(shè),則的范圍是       .

14.    設(shè),則二項式展開式中含項的系數(shù)是     .

15.    設(shè)橢圓的兩個焦點分別為,點在橢圓上,且,則該橢圓的離心率為           . 

16.    給出下列四個命題中: 
①命題“”的否定是“”;
②“”是“直線與直線相互垂直”的必要不充分條件;
③設(shè)圓與坐標軸有4個交點,分別為,則;
④關(guān)于的不等式的解集為,則.
其中所有真命題的序號是             .

三.          解答題(本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.    (本小題滿分12分)
中, 的對邊分別是,且滿足.
(1)求的大。
(2)設(shè)m,n,且m?n的最大值是5,求的值.

18.    (本小題滿分12分)
有編號為個學生,入坐編號為個座位.每個學生規(guī)定坐一個座位,設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為,已知時,共有種坐法.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.

19.    (本小題滿分12分)
在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1)。將△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P(如圖2)
(Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。
(III)求二面角B-A1P-F的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示)





20.    (本小題滿分12分)
已知橢圓,過焦點垂直于長軸的弦長為1,且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點Q(-1,0)的直線l交橢圓于A,B兩點,交直線x=-4于點E,點Q分 所成比為λ,點E分所成比為μ,求證λ+μ為定值,并計算出該定值.

21.    (本小題滿分12分)
已知函數(shù),且對于任意實數(shù),恒有。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(3)函數(shù)有幾個零點?

22.    (本小題滿分14分)
已知數(shù)列中,,且
(1)求證:
(2)設(shè),是數(shù)列的前項和,求的解析式;
(3)求證:不等式對于恒成立。

高三數(shù)學理科模擬試題答案及評分標準

 

三、解答題

17.(1) ,

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……………………..3分

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.    .

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…………………………………………………………….6分

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(2)m?n=,…..8分

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設(shè).

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則m?n=……………………….10分

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時,m?n取最大值.

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依題意得,(m?n)=…………………………………12分

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18.解:(Ⅰ)時,有種坐法,         …………………………2分

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,即,

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(舍去).   .    ……………………4分

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(Ⅱ)的可能取值是,

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,     

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  ,,………………………8分

 

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的概率分布列為:

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P

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…………………10分                                                 

 

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.                  ……………………12分

 

 

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19.不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3 .

(I)在圖1中,取BE的中點D,連結(jié)DF.

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∵AEEB=CFFA=12,∴AF=AD=2,而∠A=600,

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∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1,∴EF⊥AD…………2分

在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥BE.

又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP……….4分

(II)在圖2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是平面A1BP的斜線.

又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,

從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理).

設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點Q,則

∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角,…………………6分

且BP⊥A1Q.

在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=600,  ∴△EBP是等邊三角形,∴BE=EP.

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又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,∴Q為BP的中點,且EQ=

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又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600.

所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600…………………8分

(III)在圖3中,過F作FM⊥A1P于M,連結(jié)QM,QF.

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∵CF=CP=1, ∠C=600.    ∴△FCP是正三角形,∴PF=1.

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又PQ=BP=1,∴PF=PQ.            ①

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∵A1E⊥平面BEP,EQ=EF=,   ∴A1F=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP,

從而∠A1PF=∠A1PQ.               ②

由①②及MP為公共邊知 △FMP≌△QMP,

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∴∠QMP=∠FMP=900,且MF=MQ,

從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角……………10分

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在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴A1P=.

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∵MQ⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=.

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在△FCQ中,F(xiàn)C=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得QF=.

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在△FMQ中,cos∠FMQ=

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所以二面角B-A1P-F的大小為-arccos……………..12分

                  

 

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20.解:(1)由條件得,所以方程          ………3分

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   (2)易知直線l斜率存在,令

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                              …………………6分

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                                          …………………8分

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                            …………………10分

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代入

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……………12分

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21.(1)由題設(shè)得,

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,則,

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所以……………………………………………………2分

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所以對于任意實數(shù)恒成立

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.故…………………………………………………………..3分

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(2)由,求導數(shù)得

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,上恒單調(diào),只需上恒成立,即恒成立,所以上恒成立…………………………………………………6分

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,可知:

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………………………………………………………………….8分

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(3)令,則. 令,則,列表如下.

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0

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1

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+

0

0

+

0

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遞增

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極大值

遞減

極小值1

遞增

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極大值

遞減

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時,無零點;時,有兩個零點;時有三個零點;時,有四個零點…………………………………………………………12分

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22.(1),………………………………….1分

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又因為,則,即,又,…………………………………….4分

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(2),…….5分

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因為,所以

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時,

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時,,①

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,②

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①-②:,……………8分

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.綜上所述,……………9分

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(3),…………………………………..10分

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,易驗證當時不等式成立;…………………………………11分

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假設(shè),不等式成立,即,兩邊乘以3得

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又因為

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所以

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時不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14分

 

 

 

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