上海市四校2009屆高三質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)（理科）試題

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚.

2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

題號(hào)

一

二

三

總分

16

17

18

19

20

21

得分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、填空題 (本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分。

1．已知，若為純虛數(shù)，則的值為。    

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2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。          

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3．已知函數(shù)，。

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4．球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝AC＝2，，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為。

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5．已知數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，若數(shù)列

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的前項(xiàng)和為，則。

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6．若，且，則_________。

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7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則。

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8．已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，若方程有且僅有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為              。

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9．袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球（球的大小均相同），從中任取2個(gè)球，設(shè)每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個(gè)數(shù)為。

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10．中，分別是角的對(duì)邊，已知，，現(xiàn)有以下判斷:

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① 不可能等于15；② 若,則；③若,則有兩解。請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上____________。

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11．如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點(diǎn)，E

是邊AC上任一點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，

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設(shè)，，，且，則△BDF的面積S的最

大值是               。

 

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二、選擇題(本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得 4分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)，一律得零分。

12．設(shè)已知全集，集合，則等于                                                          (   )

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（A）       （B）     （C）          （D）

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13．設(shè)                        （  ）

(A)0         (B)1            (C)2             (D)3

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14．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB（C為圓心）面積的最小值為2，則k的值為  （  ）

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（A）3                    （B）                  （C）                     （D）2

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15．已知不等式對(duì)于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )

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（A）        （B）             （C）                （D）

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三、解答題(本大題滿分90分)本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

16.(本題滿分11分)如圖，、是單位圓上的點(diǎn)，是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，三角形為等邊三角形。求及的值。

 

 

 

 

 

 

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17. (本題滿分12分) 本題共有3個(gè)小題，每小題滿分4分。

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如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

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。

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（Ⅰ）求證：平面；

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（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

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（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離。

 

 

 

 

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18. (本題滿分12分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。

某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬(wàn)美元）

項(xiàng)目

類別

年固定成本

（單位：萬(wàn)美元）

每件產(chǎn)品成本

（單位：萬(wàn)美元）

每件產(chǎn)品銷售價(jià)

（單位：萬(wàn)美元）

每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)（單位：件）

A產(chǎn)品

20

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10

200

B產(chǎn)品

40

8

18

120

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其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，為常數(shù)，且。另外，年銷售件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬(wàn)美元的特別關(guān)稅。

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（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)，與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. (本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

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已知函數(shù)，

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（1）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

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（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. (本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。

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在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,

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也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且。

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（Ⅰ）求點(diǎn)的的坐標(biāo)及橢圓的方程；

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（Ⅱ）已知直線，且與橢圓交于兩點(diǎn)，提出一個(gè)與面積相關(guān)的問題，并作出正確解答。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21. (本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

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已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，

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（1）當(dāng)時(shí)，填寫下列列表格：

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2

3

35

100

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（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；

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（3）令，求證：當(dāng)時(shí)，。

 

 

 

 

 

 

 

 

2008學(xué)年度四校質(zhì)量調(diào)研

  高三數(shù)學(xué)試卷（理科）

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一、填空題：

1．   2．    3．     4．12     5．     6．11    7．     8．2009         9．4個(gè)    10．①②

11．解: 。因?yàn)椤鰽BC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以, △BDE的面積為,因?yàn)?sub>,所以△BDF的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值。

二、選擇題：

12．B    13．C     14．D     15．D

三、解答題：

16．解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，                                            2分

所以                                                4分

(Ⅱ)因?yàn)槿切?sub>為正三角形，所以，，，                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17．解：方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以      

又所以，                               2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                 4分

（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，          5分

在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線，所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                       8分

（III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為，因?yàn)?sub>

                                                                     9分

在中， 所以

而所以，

所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為。                                   12分

方法二：（I）同方法一。

（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則 ，設(shè)的夾角為，則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。

（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

         

令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又 所以點(diǎn)E到平面ACD的距離       。

 18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，

，所以時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（萬(wàn)美元）                         7分

又，所以時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤(rùn)為460（萬(wàn)美元）                                        9分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：

  11分

所以：當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);

     當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；

     當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分

19．解：（1）當(dāng)時(shí)， ，成立，所以是奇函數(shù)；

3分

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù)；                                                            6分

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)且,則

                  9分

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分

同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                           14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因?yàn)?sub>在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問題的質(zhì)量而定：

如問題一：當(dāng)面積為時(shí)，求直線的方程。（）      得2分

問題二：當(dāng)面積取最大值時(shí)，求直線的方程。（）       得4分

21．解：(1)

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                              6分

從而=                     8分

    =。                  10分

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>,                       

 所以                                12分

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?sub>，所以，                      14分

當(dāng)時(shí)，

所以。                                                   16分

 

 

 


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