20001年高考數(shù)學(xué)試卷  (江西、山西、天津卷)理科類(lèi)

  

第Ⅰ卷 (選擇題共60分)

其中c表示底面周長(zhǎng),表示斜高或母線長(zhǎng).

棱錐、圓錐的體積公式

其中s表示底面積,h表示高.

如果事件A、B互斥,那么                  

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立,那么

P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的

概率是P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

如圖,用A、B、C三類(lèi)不同的無(wú)件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí),系統(tǒng)N1正常工作;當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2.    

―      A ― B ― C ―

    

                                                 

                                                   ― A ―

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19)(本小題滿分12分)

設(shè)是R上的偶函數(shù).

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注意:考生在(20甲)、(20乙)兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以(20甲)計(jì)分.

(20甲)(本小題滿分12分)如圖,以正四棱錐V―ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空

        間直角坐標(biāo)系O―xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E為VC中點(diǎn),正四棱錐底面邊長(zhǎng)

        (Ⅰ)求

        (Ⅱ)記面BCV為α,面DCV為β,若∠BED是

              二面角α―VC―β的平面角,求∠BED.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(20乙)本小題滿分12分)如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中,

        面ABCD,   

        SA=AB=BC=1,AD=

   (Ⅰ)求四棱錐S―ABCD的體積;

   (Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21)(本小題滿分12分)

某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn),C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn),B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn),已知AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.

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(Ⅱ)求冷卻塔的容積(精確到10m3,塔壁厚度不計(jì),π取3.14).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22)(本小題滿分14分)

設(shè)曲線有4個(gè)不同的交點(diǎn).

(Ⅰ)求θ的取值范圍;

(Ⅱ)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參  考  答  案

 

(1)A (2)B (3)C (4)A (5)B (6)A  (7)A (8)D (9)A (10)B (11)D (12)D

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二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算

(13)  (14)1.2  (15)②  (16)1

(17)本小題主要考查分式不等式的解法,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.

解:原不等式的解集是下面不等式組(Ⅰ)、(Ⅱ)的解集的并集:

(Ⅰ)  (Ⅱ)

分情況討論

(i)當(dāng)a<0或a>1時(shí),有a<a2,此時(shí)不等式組(I)的解集為不等式組(II)的解集為空集φ;

(ii)當(dāng)時(shí),有a2<a,此時(shí),不等式組(I)的解集為空集φ,不等式組(II)的解集為

(iii)當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式無(wú)解.

綜上,當(dāng)a<0或a>1時(shí)時(shí),原不等式的解集為當(dāng)時(shí),原不等式的解集為當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式的解集為φ.

(18)本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法,考查運(yùn)用概率知識(shí)解

     決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解:分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C,由已知條件

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三、解答題

    P(A)=0.80, P(B)=0.90,  P(C)=0.90.

    (I)因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的,所以,系統(tǒng)N1正常工作的概率

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         P1=P(A?B?C)=P(A)?P(B)?P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.

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    故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648.

    (II)系統(tǒng)N2正常工作的概率

   

    

    

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     故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.

(19)本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基本性質(zhì),指數(shù)函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算,以及綜

      合分析問(wèn)題的能力.

(I)解:依題意,對(duì)一切有,即

             所以對(duì)一切成立.

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            由此得到即a2=1.            又因?yàn)閍>0,所以a=1.

    (II)證明一:設(shè)0<x1<x2,

        

       

         由

         即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

         證明二:由得

                 當(dāng)時(shí),有此時(shí)

                 所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

注意:考生在(20甲)、(20乙)兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以(20甲)計(jì)分.

(20甲)本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法;

        考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.

解:(I)由題意知B(a,a,0),C(?a,a,0),D(?a,?a,0),E

        由此得

       

       

        由向量的數(shù)量積公式有

       

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    (II)若∠BED是二面角α―VC―β的平面角,則,即有=0.

         又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有且

         即這時(shí)有

        

        

        

(20乙)本小題主要考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算,以及空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.

       解:(Ⅰ)直角梯形ABCD的面積是

               M底面=                                                               

       ∴四棱錐S―ABCD的體積是

               V=

               

                =.

(Ⅱ)延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E,連結(jié)SE,則SE是所求二面角的棱.

           ∵AD∥BC, BC=2AD,

          ∴EA=AB=SA, ∴SE⊥SB,

     ∴  SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交線,又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SE是CS在

         面SEB上的射影,∴ CS⊥SE,所以∠BSC是所求二面角的平面角.                            

∵ 

       即所求二面角的正切值為

(21)本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組等基礎(chǔ)知識(shí),考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想

      和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解:(I)如圖建立直角坐標(biāo)系xOy,AA′在x軸上,AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,CC′與BB′平行于x軸.

設(shè)雙曲線方程為則

又設(shè)B(11,y1),C(9,y2),因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上,所以有

   ②

由題意知

 ③

由①、②、③得

故雙曲線方程為

 

 

    (II)由雙曲線方程得

          設(shè)冷卻塔的容積為V(m3),則

          經(jīng)計(jì)算得

         答:冷卻塔的容積為

(22)本小題主要考查坐標(biāo)法、曲線的交點(diǎn)和三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),以及邏輯推理能力和運(yùn)算能力.

解:(I)兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足方程組

          即

有4個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于且即

又因?yàn)樗缘玫娜≈捣秶鸀椋?,

(II)由(I)的推理知4個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足方程

即得4個(gè)交點(diǎn)共圓,該圓的圓心在原點(diǎn),半徑為

因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以由

知r的取值范圍是

 

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