四川省雙流縣2009屆高三第二次診斷性模擬考試

數(shù)學(xué)理

考生注意;全卷滿分150分,完成時間120分鐘

 

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題:(本題只有12個題,每小題5分,共60分)在每小題給出的四個選項中,只有一個正確,把正確選項的代號填在機(jī)讀卡的指定位置上。

1.已知A,B滿足運(yùn)算,則

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    A.          B.           C.            D.

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2.設(shè)為實數(shù)時,實數(shù)的值是

    A.3                B.-5               C.3或-5            D.-3或5

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3.若展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為

    A.10               B.20               C.30               D.120

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4.若,則的值是

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    A.             B.             C.             D.

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5.已知數(shù)列滿足:且對任意的正整數(shù)都有,若數(shù)列的前項和為,則

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    A.               B.               C.               D.2

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6.在坐標(biāo)平面上,橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點,對任意自然數(shù),連結(jié)原點與點,用表示線段上除端點外的整點個數(shù),則

    A.1                B.2                C.3               D.4

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7.已知函數(shù)的定義域為,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為

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    A.            B.            C.           D.

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8.用1、2、3、4四個數(shù)字構(gòu)造一個四位數(shù),這個數(shù)個位數(shù)字是1,且恰好有兩個相同數(shù)字的概率是

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    A.              B.              C.             D.

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9.已知平面上兩點,若直線上存在點P使,則稱該直線為“單曲型直線”,下列直線中是“單曲型直線”的是

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   ②   ③  ④

A.     ①③             B. ③④            C. ②③            D. ①②

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10.如圖所示,為正三角形,四邊形為正方形,平面平面,為平面內(nèi)的一動點,且滿足,則點在正方形內(nèi)的軌跡為

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 (注意:為正方形的中心)

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A.                             B.          C.          D.

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11.設(shè),在上分別有動點,若,的重心是,則的最小值是

    A.1                B.2                C.3                D.4

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12.函數(shù),若,則的最小值為

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    A.               B.               C.2                D.

 

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第II卷(非選擇題共90分)

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二、填空題(本大題共4小題,共16分)把答案填在題中橫線上。

13.10名同學(xué)合影,站成了前排3人后排7人,現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站到前排,其他人的相對順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)為         

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14.已知圓的半徑為,它的內(nèi)接滿足,則面積的最大值是              

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15.已知所確定的平面區(qū)域記為D.若圓所有的點都在區(qū)域D上,則圓的面積的最大值為         

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16.設(shè)球的半徑為為球面上三點,的球面距離都為,的球面距離為,則球夾在二面角內(nèi)的那部分的體積是      

 

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三、解答題(本大題共6個小題,共74分)

17.(本大題滿分12分)

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已知函數(shù)

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(1)       若,且,求的值;

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(2)       設(shè)為常數(shù),若在區(qū)間上是增函數(shù),求的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

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18. (本大題滿分12分)

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如圖,直三棱柱中,為棱上的一動點,分別為的重心。

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(1)       求證:

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(2)       若點上的正射影正好為

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(i)                   求二面角的大;

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(ii)               求點到平面的距離。

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. (本大題滿分12分)

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一個盒子中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個大小、形狀完全相同的球,現(xiàn)從中又放回地隨機(jī)抽取2個球,抽取的球的標(biāo)號分別為,記

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(1)       求取得最大值時的概率;

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(2)       求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. (本大題滿分12分)

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已知數(shù)列滿足

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(1)       求數(shù)列的通項公式;

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(2)       設(shè),若數(shù)列的前項和為,求的表達(dá)式;

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(3)       記,求證:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21. (本大題滿分12分)

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(如圖)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點,是它的兩個頂點,直線相交于點,與橢圓相交于兩點。

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(1)       若,求的值;

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(2)       求四邊形面積的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22. (本大題滿分14分)

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已知函數(shù)

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(1)       若函數(shù)上是增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;

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(2)       當(dāng)時,求函數(shù)上的最大值和最小值;

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(3)       當(dāng)時,證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立。

 

 

 

四川省雙流縣2009屆高三第二次診斷性模擬考試

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選擇題: CABDA   BBADA   BB

4、原式

由條件可求得:    原式   故選D

5、由題得,則是公比為的等比數(shù)列,則,故選答案

6、由已知可得,直線的方程

直線過兩個整點,(),即,故應(yīng)選B

7、令,則,其值域為.由

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:,且的最小值

故選答案。

8、共有個四位數(shù),其中個位數(shù)字是1,且恰好有兩個相同數(shù)字的四位數(shù)分為兩類:一類:“1”重復(fù),有個;另一類;其他三個數(shù)字之一重復(fù),有種。所以答案為:A

9、由題意可知滿足的軌跡是雙曲線的右支,根據(jù)“單曲線型直線”的定義可知,就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點,故選D

10、選。可以證明D點和AB的中點E到P點和C點的距離相等,所以排除B和C選項。滿足的點在PC的中垂面上,PC的中垂面與ABCD的交線是直線,從而選A。

11、解:以的平分線所在直線為軸,建立坐標(biāo)系,設(shè),則、,

所以

,故當(dāng)且僅當(dāng),即為正三角形時,  故選B

12、,

,

的最小值為,故選答案。

二、填空題

13、。

14、利用正弦定理可將已知等式變?yōu)?sub>

,  

當(dāng)時,有最大值

15、

16、。畫圖分析得在二面角內(nèi)的那一部分的體積是球的體積的,所以。

三、解答題:

17、解:

(1)由

上是增函數(shù),

可額可得

18、(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

設(shè)

分別為的重心,

,即

(2)(i)平面

,平面的法向量為,

平面的法向量為

,即二面角的大小為

(ii)設(shè)平面的法向量,

,由解得

,到平面的距離為

18、解:(I)抽取的球的標(biāo)號可能為1,2,3,4

分別為0,1,2,3:分別為

因此的所有取值為0,1,2,3,4,5

當(dāng)時,可取最大值5,此時

(Ⅱ)當(dāng)時,的所有取值為(1,2),此時;

當(dāng)時,的所有取值為(1,1),(1,3),(2,2),此時

當(dāng)時,的所有取值為(1,4),(2,1),(2,3),(3,2)此時

當(dāng)時,的所有取值為(2,4),(3,1),(3,3),(4,2)此時

當(dāng)時,的所有取值為(3,4),(4,1),(4,3),此時

的分布列為:

0

1

2

3

4

5

20解:(1)

   故。

(Ⅱ)由(I)知

。當(dāng)時,;

當(dāng)時,

(Ⅲ),

①-②得

。

  。

21、(I)解:依題設(shè)得橢圓的方程為,

直線的方程分別為

如圖,設(shè)其中,

滿足方程

上知。

所以,化簡得,

解得

(Ⅱ)解法一:根據(jù)點到直線的距離公式和①式知,點的距離分別為

,

,所以四邊形的面積為

,

當(dāng)即當(dāng)時,上式取等號,所以的最大值為2。

解法二:由題設(shè),,

設(shè)由①得,

故四邊形的面積為+=

當(dāng)時,上式取等號,所以的最大值為

22、解:(I)由題設(shè)可得

函數(shù)上是增函數(shù),

當(dāng)時,不等式恒成立。

當(dāng)時,的最大值為1,則實數(shù)的取值范圍是;

(Ⅱ)當(dāng)時,

當(dāng)時,,于是上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,于是上單調(diào)遞增。

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)上的最小值為,當(dāng)時,

函數(shù)上的最大值為

(Ⅲ)當(dāng)時,由(Ⅰ)知上是增函數(shù)

對于任意的正整數(shù),有,則

。

成立,

 

 

 


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