專題三：數(shù)        列

【考點審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢透視本單元考查的重點.）

本章內(nèi)容是中學數(shù)學的重點之一，它既具有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個重要的銜接點，因而歷來是高考的重點.

高考對本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會遺漏.就近五年高考試卷平均計算，本章內(nèi)容在文史類中分數(shù)占13％，理工類卷中分數(shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.

本章在高考中常見的試題類型及命題趨勢：

（1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，近幾年命題嚴格按照《考試說明》，不要求較復雜由遞推公式求通項問題，例如2004年全國卷一?（15）、（22）.

（2）探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

（3）等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.

（4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數(shù)列的求和.

（5）將數(shù)列應用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國高考?上海卷?

解答題（）主要考查了等差數(shù)列及證明.

通過上述分析，在學習中應著眼于教材的基本知識和方法，不要盲目擴大，應著重做好以下幾方面：

（1）       理解概念，熟練運算

（2）       巧用性質(zhì)，靈活自如

【疑難點拔】

（解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學生常見錯案分析.）

    數(shù)列部分的復習分三個方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎知識以及可化為等差、等比數(shù)列的簡單問題，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。③要設計一些新穎題目，尤其是通過探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及的問題背景新穎，解法靈活，解這類題時，要教給學生科學合理的思維，全面靈活地運用數(shù)學思想方法。

    數(shù)列部分重點是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復習時應將它們對比起來復習；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復習時，要啟發(fā)學生從多角度思考問題，培養(yǎng)學生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達到事半功倍的效果。

錯案分析：

例1.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和記為，若，，則等于__________.

[錯解一], 或.

[錯因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.

[錯解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)列其公比為,從而,得或,或,

或,或.

[錯因]忽視了隱含條件.

[正解]由題設得:     ① ,       ②,

 ② ①得或（舍去），.

例2．已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（   ）

（A）       等差數(shù)列                           （B）等比數(shù)列

（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列       （D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

[錯解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.

[錯因]忽略了中隱含條件.

[正解]當時,,當時,,

,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項起為等比數(shù)列,選C.

例3.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每分鐘分裂一次(一個分裂成二個)經(jīng)過h這種細菌由一個可繁殖成_________個.

[錯解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,   

個

[錯解二] 由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細菌由一個可繁殖成

[正解] 由題意知,每次分裂細菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應為,(個)

例4.一個球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當它第次著地時,共經(jīng)過了多少米?

[錯解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過的路程構(gòu)成一個等比數(shù)列,.

[錯因]每兩次著地之間經(jīng)過的路程應為上、下路程之和;而第一次從落下時只有下的路程,應單獨計算.

[正解].

例5.在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當取何值時, 有最大值,并求它的最大值.

[錯解]設公差為,,  ,得

,即,,當時, ,

,當時,有最大值.

[錯因]僅解不等式是不正確的,應解.

[正解]由,解得公差,

,,.

所以,當或時, 有最大值為.

    [例6]一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當孩子歲上大學時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？

[錯解]年利率保持不變，每年到期時的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那么年時取出的錢數(shù)應為以為首項，公比為的第項，即

[錯因]上述解法只考慮了孩子出生時存入的元，到年時的本息，而題目的要求是每年都要存入元。

[正解]不妨從每年存入的元到年時產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時的元到年時變?yōu)?sub>，

歲生日時的元到歲時變?yōu)?sub>，……

歲時的元到歲時變?yōu)?sub>

從而知，如此存款到歲時取回的錢的總數(shù)應為：

專題三：數(shù)        列

【經(jīng)典題例】

例1：已知下面各數(shù)列的前項的和為的公式，求數(shù)列的通項公式。

（1）且；

（2）若數(shù)列的前項和。

[思路分析]：

（1）當時，   ，

用累乘法、迭代法可求得。

（2）當時，，由于不適此式，所以  。

[簡要評述]：由求的唯一途徑是 ，注意分類思想在本題中的應用以及累乘、迭代等方法的應用。

例2：等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

[思路分析]：

方法一：利用等差數(shù)列的求和公式處理，由及得

，， 依二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取最大值，且最大值是。

方法二：數(shù)形結(jié)合處理，由等差數(shù)列的求和公式可得，

的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的橫坐標為，

即最大，易求得最大值為。

方法三：利用等差數(shù)列的性質(zhì)處理， 由  可得

，又，從而，，，故最大。

[簡要評述]：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數(shù)列前項和一般是不含常數(shù)項的二次函數(shù)，因此，求最大值可用二次函數(shù)法求之，也可根據(jù)對稱軸來判斷，由于數(shù)列的特殊性還可以把通項公式寫出來，由或來解決，特別注意，用（）時，若解得，是正整數(shù)時，說明中有為的項，因此前項和最大（最�。┯袃身椙宜鼈兿嗟�。

例3：設數(shù)列的前項和為，則的值為（  ）

   （A）      （B）        （C）     （D）

[思路分析]：

方法一：特殊值法，由原數(shù)列知，在選擇支中只有（D）滿足。

方法二：看通項，，。

[簡要評述]：方法一對解答復雜的選擇題有簡化計算的作用，方法二利用通項求，為求和的通法。

例4：某城市年末汽車保有量為萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過萬量，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？

[思路分析]：如果設每年新增汽車數(shù)為萬輛，則遞推或歸納出各年汽車保有量的關(guān)系，即有。  從而。

，  。

下面要求的取值范圍是在的前提下：當為遞減函數(shù)（或常數(shù)），即，這時，符合題意；當時，遞增，而，因而限定，得（萬輛），這樣二者求并集即可。要注意。

[簡要評述]：不能歸納或探索出汽車在相鄰年份的保有量的關(guān)系是解本題的最大障礙，另外由，可得出，這也是一個重要方法。

【熱身沖刺】

試題詳情

專題一：集合、映射、簡易邏輯與函數(shù)

【考點審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢透視本單元考查的重點。）

一．三年科學歸納：

時  間

題   號

分值

題型

高考要求

考試內(nèi)容

能力層次

2002

(文)40分(理)35分

(文)4、6、9、10

20

選擇

理解

掌握

集合、充要條件、函數(shù)圖象與性質(zhì)

B

(理)5、9、10

15

(文)13、14

8

填空

掌握

應用

函數(shù)圖象與性質(zhì)

C            

(理)13、16

8

(文) 20

12

解答

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)

C

(理)21

12

2003

(文)27分(理)26分

(文) 6、7、8

15

選擇

理解

函數(shù)圖象與性質(zhì)

B

(理)3、9

10

(文)無

0

填空

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)、不等式

C

(理)14

4

(文)20

12

解答

掌握

應用

（三角）函數(shù)圖象與性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)、不等式

C

(理)19

12

2004

(文)36分(理)24分

(文)1、8、9、12

20

選擇

掌握

集合、充要條件、函數(shù)性質(zhì)及其應用

C

(理)1、8、11、12

20

(文)13

4

填空

掌握

函數(shù)表達式、不等式

C

(理)13

4

(文)21

12

解答

掌握

函數(shù)圖象與性質(zhì)、導數(shù)

(理)無

0

綜合上述三年統(tǒng)計表可知本單元在高考中試題類型與特點有：

1．  集合、映射、簡易邏輯、四種命題一般都是基本題，綜合性題目少，且綜合性的深度較�。�解答題少．今年理科試題中沒有出現(xiàn)本單元的解答題型．

2．  函數(shù)及其性質(zhì)考查更是高考函數(shù)試題的主干，是中學與大學數(shù)學相銜接的重要內(nèi)容，是承上啟下的必備知識，也是歷年高考的熱點．本考點每年必考。近年高考對函數(shù)知識的考查，除了保持函數(shù)各知識點比較高的覆蓋面外，還強化了對函數(shù)本質(zhì)和函數(shù)應用的考查，體現(xiàn)了函數(shù)知識考查的深度和廣度，函數(shù)的概念的考察多數(shù)是與其它知識以綜合題的形式出現(xiàn)，有關(guān)函數(shù)的綜合題較難。

具體考查：

（1）       常見初等函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，其中二次函數(shù)及其對數(shù)函數(shù)更為重要，屬中檔題；

（2）       考查函數(shù)與方程、不等式、三角、數(shù)列、曲線方程、導數(shù)（尤其要重視與導數(shù)的結(jié)合）等知識的交叉滲透及其應用，屬中、高檔題；

（3）       考查以函數(shù)為模型的實際應用題，讓考生從數(shù)學角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象，分析解決問題，屬中檔題；

（4）       變函數(shù)的具體形式為抽象形式，用以考查抽象思維水平，以及將抽象與具體進行相互轉(zhuǎn)化的思維能力，可結(jié)合在函數(shù)的各種題型中進行考查。

【疑難點拔】

（解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學生常見錯案分析。）

試題詳情

常州二中 徐展

第Ⅰ卷（選擇題　共31分）

試題詳情

2009年高考模擬考試

物  理

  本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷Ⅰ至4頁。第1I卷5至8頁．考試時間90分鐘，滿分100分。

第1卷(選擇題共40分)

注惹事項：

    1．答第1卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目、試卷類型(A或B)涂寫在答題卡上。

    2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。

試題詳情

攀枝花市2009級高三第三次統(tǒng)考 2009.3

理科綜合能力測試(物理部份)

試題詳情

山東省聊城2009年高考一模

基本能力試題

試題由第1卷和第Ⅱ卷兩部分組成，滿分為100分，考試時間120分鐘。答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目填涂在試卷、答題卡、答案卷規(guī)定的地方

第Ⅰ卷（30分

注意事項：

    1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑。如需改動用橡皮擦干凈后再涂寫其他答案標號，不涂答題卡只答在試卷上不得分。

2．第1卷共30小題，全部為單選題，每題1分，共30分。

試題詳情

龍岡中學2008/2009學年度高二年級學業(yè)水平調(diào)研考試

物 理 試 題

命題人：胥曉春

第Ⅰ卷(選擇題  共69分)

試題詳情

^{蘇州市 2008~2009 學年度高二年級學業(yè)水平測試}

_{物                        理                                 2009．3}

試題詳情

鹽城一中2008/2009學年高二年級學業(yè)水平測試

物   理 （必 修）試題

試題詳情

試題詳情