絕密★啟用前                                                        試卷類型：A

2009年山東省濱州市高考模擬考試

                    理科綜合試題                2009.3

     本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共14頁(yè)。滿分240分。考試用時(shí)150分鐘。考試結(jié)束后，將答題紙和答題卡一并交回。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂在答題紙和答題卡規(guī)定的位置。

第I卷（必做題  共88分）

注意事項(xiàng)：

    1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不涂在答題卡上，只答在試卷上不得分。

2．第I卷共22小題，每小題4分，共88分。

以下數(shù)據(jù)可供答題時(shí)參考：

相對(duì)原子質(zhì)量：H:1  C:12  O:16  Na:23   AI:27   CI:35.5  Fe:56   Cu:64

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十八

難點(diǎn)18  不等式的證明策略

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.

求證：(a+)(b+)≥.

●案例探究

［例1］證明不等式(n∈N^*)

命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.

錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：

這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.

技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.

證法一：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+＜2，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.

綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N^*時(shí)，都有1+＜2.

另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法：

證法二：對(duì)任意k∈N^*，都有：

證法三：設(shè)f(n)=

那么對(duì)任意k∈N?^* 都有：

∴f(k+1)＞f(k)

因此，對(duì)任意n∈N^* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，

∴

［例2］求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.

錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的.

技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則a_min=f(x)_max；若 a≤f(x)，則a_max=f(x)_min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.

解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：

x+y+2≤a²(x+y)，即2≤(a²－1)(x+y)，                                                     ①

∴x，y＞0，∴x+y≥2，                                                                                  ②

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，②中有等號(hào)成立.

比較①、②得a的最小值滿足a²－1=1，

∴a²=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.

解法二：設(shè).

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，

∴≤1，的最大值是1.

從而可知，u的最大值為，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值為.

解法三：∵y＞0，

∴原不等式可化為+1≤a，

設(shè)=tanθ，θ∈(0，).

∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，                                                                        ③

又∵sin(θ+)的最大值為1(此時(shí)θ=).

由③式可知a的最小值為.

●錦囊妙計(jì)

1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.

(2)綜合法是由因?qū)Ч�，而分析法是�?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十七

難點(diǎn)17  三角形中的三角函數(shù)式

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.

●案例探究

［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。

(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；

(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？

命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.

錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).

技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題.

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30°.

在△ACD中，據(jù)正弦定理得，

∴

答：此時(shí)船距島A為千米.

［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().

(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；

(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；

(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問題的能力，并且考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，屬★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.

錯(cuò)解分析：考生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.

技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時(shí)要注意||的范圍.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x²－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］.

(2)設(shè)x₁＜x₂，∴f(x₂)－f(x₁)=

=，若x₁，x₂∈()，則4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0

即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，則4x₁²－3＞0.

4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.

即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：

(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；

(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；

(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十六

難點(diǎn)16  三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡(jiǎn)和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin²20°+cos²80°+cos20°cos80°的值.

命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高.屬于★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.

錯(cuò)解分析：公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò).

技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì).

解法一：sin²20°+cos²80°+sin²20°cos80°

= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)

=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin²20°

=1－cos40°－(1－cos40°)=

解法二：設(shè)x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－cos20°sin80°，則

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=.

［例2］設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos²x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值.

命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力.屬★★★★★級(jí)題目

知識(shí)依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

錯(cuò)解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類易出錯(cuò).

技巧與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等.

解：由y=2(cosx－)²－及cosx∈［－1，1］得：

f(a)

∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞

故－－2a－1=，解得：a=－1，此時(shí)，

y=2(cosx+)²+，當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5.

［例3］已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；

(3)若當(dāng)x∈［，］時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)，求f^-－1(1)的值.

命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí).

錯(cuò)解分析：在求f^-－1(1)的值時(shí)易走彎路.

技巧與方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)

∴f(x)的最小正周期T=π

(2)當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2.

(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,

∴2x+∈［,］,∴2x+=，則

x=，故f^-－1(1)= .

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：

1.求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡(jiǎn)求值.

2.技巧與方法：

1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式.

2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用.

3°對(duì)于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法.

4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十五

難點(diǎn)15  三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D象和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)已知α、β為銳角，且x(α+β－)＞0,試證不等式f(x)=^x＜2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立.

●案例探究

［例1］設(shè)z₁=m+(2－m²)i,z₂=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z₁=2z₂，求λ的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：主要依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.

錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.

技巧與方法：對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

解法一：∵z₁=2z₂，

∴m+(2－m²)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

∴λ=1－2cos²θ－sinθ=2sin²θ－sinθ－1=2(sinθ－)²－.

當(dāng)sinθ=時(shí)λ取最小值－，當(dāng)sinθ=－1時(shí)，λ取最大值2.

解法二：∵z₁=2z₂  ∴

∴,

∴=1.

∴m⁴－(3－4λ)m²+4λ²－8λ=0,設(shè)t=m²,則0≤t≤4,

令f(t)=t²－(3－4λ)t+4λ²－8λ,則或f(0)?f(4)≤0

∴

∴－≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范圍是［－，2］.

［例2］如右圖，一滑雪運(yùn)動(dòng)員自h=50m高處A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，由于運(yùn)動(dòng)員的技巧(不計(jì)阻力)，在O點(diǎn)保持速率v₀不為，并以傾角θ起跳，落至B點(diǎn)，令OB=L，試問，α=30°時(shí)，L的最大值為多少？當(dāng)L取最大值時(shí)，θ為多大？

命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決物理問題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)知識(shí)來解決實(shí)際問題.

錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決物理問題，知識(shí)的遷移能力不夠靈活.

技巧與方法：首先運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)得出目標(biāo)函數(shù)，其次運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題.

解：由已知條件列出從O點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)方程：

由①②整理得：v₀cosθ=

∴v₀²+gLsinα=g²t²+≥=gL

運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，機(jī)械守恒有:mgh=mv₀²,

∴v₀²=2gh,∴L≤=200(m)

即L_max=200(m),又g²t²=.

∴

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當(dāng)L最大時(shí)，起跳仰角為30°.

［例3］如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求這段時(shí)間的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式.

錯(cuò)解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.

解：(1)由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是30－10=20(℃)；

(2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個(gè)周期的圖象.

∴=14－6,解得ω=,由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時(shí)y=10sin(x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=π.綜上所求的解析式為y=10sin(x+

π)+20,x∈［6,14］.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決的方法主要有：

1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用.

2.三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng).

3.三角函數(shù)與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用.

此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十四

難點(diǎn)14  數(shù)列綜合應(yīng)用問題

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達(dá)式；

(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)?g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹［g(x)］為多項(xiàng)式，n∈N^*),試用t表示a_n和b_n；

(3)設(shè)圓C_n的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，圓C_n與C_n+1外切(n=1,2,3,…);{r_n}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記S_n為前n個(gè)圓的面積之和，求r_n、S_n.

●案例探究

［例1］從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為a_n萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為b_n萬(wàn)元，寫出a_n,b_n的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).

錯(cuò)解分析：(1)問a_n、b_n實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1－)萬(wàn)元，…第n年投入為800×(1－)^n－1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1

=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)^n－1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1.

=1600×［()ⁿ－1］

(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，即：

1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，令x=()ⁿ，代入上式得：5x²－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

［例2］已知S_n=1++…+,(n∈N^*)設(shè)f(n)=S_2n+1－S_n+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立.

命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙.

錯(cuò)解分析：本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理.

技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(n)的最小值大于［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］².

解：∵S_n=1++…+.(n∈N^*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)

∴f(n) _min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式

f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立

只要＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²成立即可

由得m＞1且m≠2

此時(shí)設(shè)［log_m(m－1)］²=t  則t＞0

于是解得0＜t＜1

 由此得0＜［log_m(m－1)］²＜1

 解得m＞且m≠2.

●錦囊妙計(jì)

1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來解決問題.

2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān)：

(1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關(guān)：需將實(shí)際問題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.

(3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十三

難點(diǎn)13  數(shù)列的通項(xiàng)與求和

數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n可視為數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)。通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對(duì)數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動(dòng)態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng).

(1)寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng).

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)

(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

●案例探究

［例1］已知數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)²，且a₁=f(d－1)，a₃=f(d+1)，b₁=f(q+1)，b₃=f(q－1)，

(1)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，都有=a_n+1成立，求.

命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列{a_n}的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解c_n是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.

錯(cuò)解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a₁、b₁、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯(cuò)；(2)問中對(duì)條件的正確認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

技巧與方法：本題(1)問運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{d_n}，運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出d_n，絲絲入扣.

解：(1)∵a₁=f(d－1)=(d－2)²，a₃=f(d+1)=d²，

∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d，

∵d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1)；又b₁=f(q+1)=q²，b₃=f(q－1)=(q－2)²，

∴=q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴b_n=b?q^n－1=4?(－2)^n－1

(2)令=d_n，則d₁+d₂+…+d_n=a_n+1,(n∈N^*),

∴d_n=a_n+1－a_n=2,

∴=2,即c_n=2?b_n=8?(－2)^n－1；∴S_n=［1－(－2)ⁿ］.

∴

［例2］設(shè)A_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，A_n= (a_n－1)，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=4n+3;

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)把數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=3²ⁿ⁺¹;

(3)設(shè)數(shù)列{d_n}的第n項(xiàng)是數(shù)列{b_n}中的第r項(xiàng)，B_r為數(shù)列{b_n}的前r項(xiàng)的和；D_n為數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，T_n=B_r－D_n，求.

命題意圖：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.

知識(shí)依托：利用項(xiàng)與和的關(guān)系求a_n是本題的先決；(2)問中探尋{a_n}與{b_n}的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn).

錯(cuò)解分析：待證通項(xiàng)d_n=3²ⁿ⁺¹與a_n的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使T_n中既含有n，又含有r，會(huì)使所求的極限模糊不清.

技巧與方法：(1)問中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為4－1，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示B_r，問題便可迎刃而解.

解：(1)由A_n=(a_n－1)，可知A_n+1=(a_n+1－1)，

∴a_n+1－a_n= (a_n+1－a_n)，即=3，而a₁=A₁= (a₁－1)，得a₁=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ.

(2)∵3²ⁿ⁺¹=3?3²ⁿ=3?(4－1)²ⁿ=3?［4²ⁿ+C?4^2n－1(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)²ⁿ］=4n+3，

∴3²ⁿ+1∈{b_n}.而數(shù)3²ⁿ=(4－1)²ⁿ=4²ⁿ+C?4^2n－1?(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)²ⁿ=(4k+1)，

∴3²ⁿ{b_n}，而數(shù)列{a_n}={a_2n+1}∪{a_2n}，∴d_n=3²ⁿ⁺¹.

(3)由3²ⁿ⁺¹=4?r+3，可知r=，

∴B_r=，

●錦囊妙計(jì)

1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.

2.數(shù)列{a_n}前n 項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n的關(guān)系式：a_n=

3.求通項(xiàng)常用方法

①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.

②累差疊加法.最基本形式是：a_n=(a_n－a_n－1+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁.

③歸納、猜想法.

4.數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法

①重要公式

1+2+…+n=n(n+1)

1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²

②等差數(shù)列中S_m+n=S_m+S_n+mnd，等比數(shù)列中S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n.

③裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)：

④錯(cuò)項(xiàng)相消法

⑤并項(xiàng)求和法

數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十二

難點(diǎn)12  等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_________.

●案例探究

［例1］已知函數(shù)f(x)= (x<－2).

(1)求f(x)的反函數(shù)f^-－1(x);

(2)設(shè)a₁=1, =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;

(3)設(shè)S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N^*,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

命題意圖：本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.

錯(cuò)解分析：本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問以數(shù)列{}為橋梁求a_n,不易突破.

技巧與方法：(2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列{},從而求得a_n,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(3)問運(yùn)用了函數(shù)的思想.

解：(1)設(shè)y=,∵x<－2,∴x=－,

即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，

∴{}是公差為4的等差數(shù)列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=.

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數(shù)，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意n∈N^*有b_n<成立.

［例2］設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lga_n}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出a_n;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解.

錯(cuò)解分析：題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方.

技巧與方法：突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列S_n是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值.

解法一：設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N^*,依題意有

化簡(jiǎn)得.

設(shè)數(shù)列{lga_n}前n項(xiàng)和為S_n,則

S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ?q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)?lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3

=(－)?n²+(2lg2+lg3)?n

可見，當(dāng)n=時(shí)，S_n最大.

而=5,故{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.

解法二：接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,

∴數(shù)列{lga_n}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5.5.

由于n∈N^*,可見數(shù)列{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.

●錦囊妙計(jì)

1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用.

2.在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.

3.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十一

難點(diǎn)11  函數(shù)中的綜合問題

函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?b>R，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)在區(qū)間［－9，9］上，求f(x)的最值.

●案例探究

［例1］設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

(3)記a_n=f(n+),求

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)找到問題的突破口.

錯(cuò)解分析：不會(huì)利用f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)進(jìn)行合理變形.

技巧與方法：由f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)變形為是解決問題的關(guān)鍵.

(1)    解：因?yàn)閷?duì)x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),所以f(x)=≥0,

x∈［0,1］

又因?yàn)?i>f(1)=f(+)=f()?f()=［f()］²

f()=f(+)=f()?f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)

周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n?)=f(+(n－1) )=f()?f((n－1)?)

=……

=f()?f()?……?f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a.

又∵f(x)的一個(gè)周期是2

∴f(2n+)=f(),因此a_n=a

∴

［例2］甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對(duì)參變量的限制條件.

技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià).

解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a?+bv²?=S(+bv)

∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)?i>y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

∴S(+bv)≥2S                      ①

當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，①式中等號(hào)成立.若≤c則當(dāng)v=時(shí)，有y_min；

若>c,則當(dāng)v∈(0,c時(shí)，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有y_min；

綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,當(dāng)>c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.

解法二：(1)同解法一.

(2)∵函數(shù)y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當(dāng)x∈(0,)時(shí)，y單調(diào)減小，當(dāng)x∈(,+∞)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v∈(0,c.

∴當(dāng)≤c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若>c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.結(jié)論同上.

●錦囊妙計(jì)

在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)九

難點(diǎn)9  指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問題

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會(huì)用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)設(shè)f(x)=log₂,F(x)=+f(x).

(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數(shù)為f^－1(x),證明：對(duì)任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函數(shù)F^－1(x),證明：方程F^－1(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；

(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

命題意圖：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力.屬★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：(1)證明三點(diǎn)共線的方法：k_OC=k_OD.

(2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo).

錯(cuò)解分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題.

技巧與方法：本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo).

(1)證明：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂,由題意知：x₁>1,x₂>1,則A、B縱坐標(biāo)分別為log₈x₁,log₈x₂.因?yàn)?i>A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以,點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x₁,log₂x₁),(x₂,log₂x₂),由于log₂x₁==3log₈x₂,所以OC的斜率：k₁=,

OD的斜率：k₂=，由此可知：k₁=k₂,即O、C、D在同一條直線上.

(2)解：由BC平行于x軸知：log₂x₁=log₈x₂  即：log₂x₁=log₂x₂,代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得：x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴x₁³=3x₁.又x₁>1,∴x₁=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log₈).

［例2］在xOy平面上有一點(diǎn)列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=2000()^x(0<a<1)的圖象上，且點(diǎn)P_n,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(1)求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；

(3)設(shè)C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{C_n}前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由.

命題意圖：本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)、最值等知識(shí)點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個(gè)思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對(duì)綜合知識(shí)分析和運(yùn)用的能力.屬★★★★★級(jí)

題目.

知識(shí)依托：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識(shí).

錯(cuò)解分析：考生對(duì)綜合知識(shí)不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.

技巧與方法：本題屬于知識(shí)綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，并會(huì)運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去解決問題.

解：(1)由題意知：a_n=n+,∴b_n=2000().

(2)∵函數(shù)y=2000()^x(0<a<10)遞減，∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有b_n>b_n+1>b_n+2.則以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n,即()²+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)<a<10.

(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7

∴b_n=2000().數(shù)列{b_n}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,B_n=b_nB_n－1.于是當(dāng)b_n≥1時(shí)，B_n<B_n－1,當(dāng)b_n<1時(shí)，B_n≤B_n－1,因此數(shù)列{B_n}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式b_n≥1且b_n+1<1,由b_n=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法有：

(1)運(yùn)用兩種函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用.

(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.

(3)應(yīng)用題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的建模能力.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情