2．函數是中學數學的重要內容，像一條紅線貫穿在整個中學數學之中，函數這一單元的知識有五個特點：

    （1）內容的豐富性：“函數”這一單元包括函數的概念和記號，函數的定義域、值域和對應規(guī)律，函數的圖像，函數的單詞性、奇偶性和周期性，反函數、指數函數和對數函數，此外，一次函數、二次函數、反比例函數雖然是在初中所學，但在高中階段的“函數”一章中完成它的深化過程。

  （2）強烈的滲透性：函數網絡具有強大的滲透和輻射功能，函數與中學數學中的絕大部分內容都有聯系，與數列、不等式、解析幾何、復數、立體幾何等均有著千絲萬縷的聯系．

  （3）高度的思想性：“函數”這一章蘊含著中學數學中重要的數學思想，如函數的思想、分類討論的思想、數形結合的思想、化歸思想等。

  （4）與高等數學銜接的緊密性：函數與極限、微分、積分、概率、統計等數學內容聯系非常緊密。

  （5）知識的應用性：函數知識在日常生活、生產、科學技術及其他學科中有著廣泛的應用。

       對函數及其性質這部分內容的考查，可分橫向和縱向兩個方面，橫向涉及的函數有：一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數等基本初等函數；還有由基本初等函數迭加和復合成的一次分式、二次分式函數以及復合函數等．縱向即函數的性質：定義(解析式、定義域、值域)、單調性、奇偶性、最值、周期性、對稱性等．

    函數問題幾乎涉及中學數學所有數學思想和方法，如數形結合思想、函數與方程的思想、分類討論思想和等價轉化的思想等．解函數問題用到很多典型的數學方法，如配方法、待定系數法、數學歸納法、消元法、反證法、比較法、代人法等．因此，學好中學數學，提高高考復習效率，函數這部分內容是基礎，也是重點．

本章重點解決以下四個問題：

1．       準確地理解函數有關的概念；

2．       充分揭示函數與其它知識的聯系；

3．       熟練運用函數思想，分類討論思想和數形結合思想解題；

4． 深刻認識函數的實質，強化應用意識。

上述四個問題同時也是本章的難點。

    1．在復習中首先把握基礎性知識，深刻理解本單元的基本知識點、基本數學思想和基本數學方法．重點掌握集合、充分條件與必要條件的概念和運算方法．要真正掌握數形結合思想――用文氏圖解題．

    2．涉及本單元知識點的高考題，綜合性大題不多．所以在復習中不宜做過多過高的要求，只要靈活掌握小型綜合題型(如集合與映射，集合與自然數集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件與必要條件與三角、立幾、解幾中的知識點的結合等) 映射的概念以選擇題型出現，難度不大。就可以了

3．活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發(fā)點。利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足映射或函數的條件，證明或判斷函數的單調性與奇偶性并寫出函數的單調區(qū)間等。

    4．重視“數形結合”滲透�！皵等毙螘r少直觀，形缺數時難入微”。當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議便是：畫個圖!利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題。

    5．實施“定義域優(yōu)先”原則。函數的定義域是函數最基本的組成部分，任何對函數性質的研究都離不開函數的定義域。例如，求函數的單調區(qū)間，必須在定義域范圍內；通過求出反函數的定義域，可得到原函數的值域；定義域關于原點對稱，是函數為奇函數或偶函數的必要條件。為此，應熟練掌握求函數定義域的原則與方法，并貫徹到解題中去。

   6．強化“分類思想”應用。指數函數與對數函數的性質均與其底數是否大于1有關；對于根式的意義及其性質的討論要分清n是奇數還是偶數等。

專題一：集合、映射、簡易邏輯與函數

【經典題例】

例1：給出下列四個命題：

   （1）函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數的定義域相同：

   （2）函數y=x³與y=3^x的值域相同；

   （3）函數都是奇函數；

   （4）函數y=(x－1)²與y=2^x－1在區(qū)間上都是增函數.

其中正確命題的序號是    ①③         .（把你認為正確的命題序號都填上）

[簡要評述]

通過這幾種命題的真假判斷，進一步增強學生對比學習意識和數形結合思想

例2：已知f（x）是偶函數，且f（1）=993，g（x）=f（x―1）是奇函數

求f（2005）的值。(993)

[簡要評述]

利用抽象形式推理出函數的重要性質（以4為周期）

例3：關于的方程

（1）       對于任意當且僅當恒有實數解；key：

（2）       當且僅當時恰有兩個實數解；key：

（3）       當且僅當時由無窮多個實數解；key：或

（4）       當且僅當時無實數解。Key：且

[簡要評述]

通過此題分析增強學生的屬性結合思想意識，培養(yǎng)靈活機動的思維品質。

例4：已知集合，若A∪B=A，則符合條件的m的實數值組成的集合

是  __________key:

[簡要評述]

在高考應試能力中，，審題是關鍵，通過此題訓練學生思維的嚴謹性。

例5：已知函數.

（1）證明：函數在上為增函數；

（2）用反證法證明方程沒有負數根.

 [思路分析]

證明：設

又在上是增函數。  ，

由（1）（2）得即上是增函數。

（反證法）設存在負數根，：，則

_，又矛盾，所以假設不成立。

則沒有負數根。

[簡要評述]通過（1）的證明讓學生在處理函數單調性的證明時，能充分利用幾種基本函數的性質直接處理，同時增強應變能力訓練，通過（2）的證明使學生增強對反證法這種重要數學思想方法的認識。

例6：設.

（1）求的反函數；

（2）若時，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

[思路分析]

（1）

（2）

，顯然

    當時，

    當時，

，綜上所述：

[簡要評述]

該題考查學生對函數與不等式的結合點的認識與處理能力，培養(yǎng)學生的轉化能力及分類討論思想。

例7：高三某班52名學生全部參加綠化美化環(huán)境的志愿者行動，這次行動要求完成栽400株花和種200棵樹的任務，據經驗如果栽花每個學生每小時可以栽3株，如果植樹每個學生每小時可以值1棵，現在把這52名學生分成甲乙兩組，甲組只栽花，乙組只植樹，并且同時開始工作，為了在最短時間內完成這項任務，兩組各應安排多少名同學？并論述這種分組的合理性。

解：設甲組人，乙組人，且，

據已知，栽花總用時為小時，植樹總用時為小時，

這樣完成整個任務的時間，應該是和的較大者，

在區(qū)間[1，52]上，函數為減函數，為增函數，為使整體最少，應有||最小，不妨先解，得

因為不是整數，所以要比較兩函數在臨近整數的函數值，

當時，||；

當時，||。

因此，甲組為21人，乙組為31人，完成任務時間最短。

 [簡要評述]

增強應用意識，提高學生學習數學的興趣

例8：已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，

有f (x＋T)=T f (x)成立．

     （1）函數f (x)= x 是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數 f (x)= a ^x (a＞0，且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f (x) = a ^x∈M.

[思路分析] (1)對于非零常數T，f (x＋T)=x＋T， Tf (x)=Tx．

因為對任意x∈R，x＋T= Tx不能恒成立，所以f(x)=

(2)因為函數f (x) = a ^x(a＞0且a≠1)的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得a^x=x，

顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數T，使a^T=T．

于是對于f (x)=a^x有 故f (x) = a ^x∈M．

 [簡要評述]

開放性、探索性問題是當今高考熱點問題，通過此題培養(yǎng)學生科學探索精神。

【熱身沖刺】

1．已知集合則（  D  ）

       （A）  （B）  （C）A=B        （D）

2．“p或q是假命題”是“非p為真命題”的                              （  A  ）   

（A）充分而不必要條件               （B）必要而不充分條件

（C）充要條件                                      （D）既不充分也不必要條件

3．已知函數，若，則                （  B  ）

（A）         （B）         （C）           （D）

4．已知函數，集合A={},B={，

則的元素個數為                                         （  C  ）

（A）0         （B）1         （C）0或1           （D）1或2

5．在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變成c%(a,b>0,a≠b)，則x與y的函數關系式是                                                          （  B  ）

（A）y=x      （B）y=x     （C）y=x     （D）y=x

6．已知(2，1)在函數f(x)=的圖象上，又知f^－1=1，則f(x)等于 （  A  ）

（A）  （B）   （C）  （D）            

7．函數的圖象                     （  C  ）

（A）關于原點對稱                （B）關于直線x=0對稱 

（C）關于點（1，0）對稱          （D）關于直線x=1對稱

8． 設函數的反函數為，若，則是 （  B  ）

（A）上增函數             （B）上增函數

（C）上減函數               （D）上減函數

9．若函數的定義域R分成了四個單調區(qū)間，則實數滿足                                                                  (  C  )

  （A）  （B）  （C）  （D）

10．已知命題：若是無窮等差數列的前項和，則點列在一條拋物線上，

   命題：若實數則的解集是R。又知是的逆否命題，

是的逆命題，那么下列判斷正確的是                               （ C ）

（A）是假命題，是真命題             （B）是真命題，是真命題

（C）是假命題，是假命題             （D）是真命題，是假命題

11．下列命題（1），

中正確的是      （1）（3）（5）          （把所有錯誤的序號全填上）

12．方程的解集為   {2}           

13．設A=，B=，定義是A到B的函數，

是B到A的映射，若，則=            

14．設函數

15．已知函數，的積，

   求：解析式，并畫出其圖象；  

解：

圖略

16．.函數的定義域為集合，關于的不等式的解集為，求使的實數的取值范圍.

解：，

則當時，；當時，B=R；當時，

又，則

，成立，

綜上所述：

17．對于函數，當時，的最大值為，

   試用反證法證明：

證明：假設，則，所以可得

，由（2）（3）得

與（1）矛盾,所以原命題成立。

18．已知函數的值域是[1，9]，試求函數的定義域和值域。

解：的定義域為R，令，則有

若，由得即。

且，。

若，取，則成立。

，而恒成立，

又

函數的定義域為R，值域是

19．是否存在常數，使，在上是減函數，且在

上是增函數？

提示：由題意知是函數的一個極值點，由

令得，故

當時，為減函數；

當時，為增函數，適合題意

20． 已知集合A={x|x²＋3x＋2 ≥0}，B={x|mx²－4x＋m－1＞0 ，m∈R}， 若A∩B=，

且A∪B=A，試求實數m的取值范圍．

[思路分析]由已知A={x|x²＋3x＋2}，得得：

(1)∵A非空 ，∴B=；
(2)∵A={}，∴另一方面，，

于是上面(2)不成立，否則，與題設矛盾．由上面分析知，B=．

由已知B=，結合B=，

得對一切x恒成立，于是，

有的取值范圍是