2．已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B ={x|3≤x≤22}，則能使AÍA∩B成立的a的取值范圍是　　　　　 　　　( 　)

　　 A．{a|1≤a≤9}　 B．{a|6≤a≤9}　 C．{a|a≤9} 　　　D．

1．若以集合S={}中的三個不同元素為邊長可構(gòu)成一個三角形，那么這個三角形一定不可能是　　　　　　 (　 )

A．銳角三角形　 B．直角三角形　

C．鈍角三角形　 D．等腰三角形

5．用集合思想解題

[例11]一次大型會議有2002位代表參加，每位代表至少有1335位合作者．試問這些代表中是否總可以找到四位代表，他們中的每兩位都合作過？請證明你的結(jié)論．

[分析]以合作的人數(shù)最少(2人)的情況為基礎(chǔ)，構(gòu)造集合，利用集合元素的個數(shù)的計數(shù)原理，使合作的人數(shù)增多．

[解]記各代表為a_i(i=1,2,3,…,2002)，與a_i合作過的代表組成的集合記為A_i，任取合作過的兩位代表為a₁，a₂，于是

card(A₁)≥1335，card(A₂)≥1335，

card(A₁∪A₂)≤2002，card (A₁∪A₂∪A₃)≤2002．

畫出韋恩圖(如圖5)，得

card(A₁∩A₂)= card(A₁)+ card(A₂)- card(A₁∪A₂)

≥1335+1335-2002=668>0，

從而，存在代表a₃Î A₁∩A₂，且a₃Ï{ a₁，a₂}．

又card(A₁∩A₂∩A₃)= card[(A₁∩A₂)∩A₃]

= card(A₁∩A₂)+ card(A₂)- card[(A₁∩A₂)∪A₃]

≥668+1335- card[(A₁∪A₂)∪A₃] ≥2003-2002=1．

于是，存在代表a₄Î A₁∩A₂∩A₃，且a₄Ï{ a₁，a₂，a₃}，即存在代表a₁,a₂, a₃, a₄，兩兩合作過．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是構(gòu)造集合，利用集合思想進行解題．

②解題規(guī)律是畫韋恩圖，得到關(guān)于集合的元素個數(shù)的計數(shù)原理：card(A∩B)= card(A)+ card(B)- card(A∪B)．

利用集合思想解題，使問題變得簡潔，思路顯得清晰．

③解題易錯點容易誤認(rèn)為：card(A∪B)= card(A)+ card(B)．

4．分類討論法

[例8]已知三個集合A={x∣x²-3x+2=0}，B={x∣x²-ax+a=1}，C={x∣x²-bx+2=0}．試問同時滿足BA且C?A的實數(shù)a和b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．

　　　 [分析]先化簡集合A、B及C，然后運用條件BA且C?A探求a與b的值或說明其不存在．

　　　 [解]由 x²-3x+2=0，解得 x=1或x=2，于是A={1，2}．

　　　 由x²-ax+a=1，解得 x=1或x=a -1．于是，

　　　 當(dāng)a=2時，B={1}；當(dāng)a≠2時，B={1，a-1}．

　　　 先求實數(shù)a的可能取值：

　　　 當(dāng)a=2，即B={1}時，不滿足BA，故a≠2；

　　　 當(dāng)B={1，a-1}，即a≠2時，由BA，得a-1≠2，于是a≠3．

　　　 其次求實數(shù)b的可能取值：

　　　 對于方程x²-bx+2=0，其判別式 ⊿=b²-8．

　　　 當(dāng)⊿<0，即時，方程x²-bx+2=0無解，C=，顯然滿足題設(shè)；

　　　 當(dāng)⊿=0，即b= 時，方程x²-bx+2=0的解為x=，C＝{}，即C={}(當(dāng)b=)或C={}(當(dāng)b=)，此時，不能滿足C?A，故b≠；

　　　 當(dāng)⊿>0，即或時，方程x²-bx+2=0有兩個不等實數(shù)根、，于是C={，}．若C?A，則必有1∈C或2∈C．但·=2，故、均不能為1或2，從而此種情形下無解．

　　　 故滿足條件的實數(shù)a與b均存在，且a∈R，a≠2、3，．

　　　 [點悟]①解題關(guān)鍵點是弄清每一個集合中的元素，理清集合間的關(guān)系，正確合理使用題中所給信息，對問題所及方面進行正確的分類．

②解題技巧是對集合A、B與C的化簡及對集合A與B的分別求解．

③解題易錯點是忽視對集合元素的互異性的檢驗，遺漏空集是任何非空集合的真子集的情形，忽視對集合B的元素個數(shù)是一個還是兩個的討論．

[例9]設(shè)集合A={x∣x²+px+1=0}，B={ x∣x >0}，當(dāng)A∩B=，求實數(shù)p的取值范圍．

　　　 [分析]利用根的判別式與0的大小關(guān)系分A為空集和非空集的情況討論求解．

　　　 [解]因 A∩B=，故 A=或A中的元素只有非正數(shù)．

　　　 若A=，則⊿=p²-4<0，解得 -2< p<2；

　　　 若A中的元素只有非正數(shù)，則 ⊿≥0且= -p≤0，，解得 p≥2．

　　　 于是實數(shù)p的取值范圍為p>-2．

　　　 [點悟]①解題關(guān)鍵點是將集合語言準(zhǔn)確地翻譯成文字語言，即轉(zhuǎn)換成一種更為直觀淺顯的條件．

②解題規(guī)律是對于含有參數(shù)的一元二次方程根的情況可使用判別式法進行討論求之．

③解題易錯點是忽視A=的情況，引起失解，縮小p的取值范圍．

[例10]已知集合P=．

(1)若P中只有一個元素，試求a的值，并把這個元素寫出來；

(2)若P中至多只有一個元素，試求a的取值范圍．

[分析]x²前的系數(shù)為a，它在變化，故須對a進行討論：它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程；它可能有實數(shù)根，也可能無實數(shù)根．

[解]集合P表示方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解的集合．

(1)當(dāng)時，⊿=，a =4，方程有兩個相等的實數(shù)根，P中只有一個元素；當(dāng)a=0時，方程為一元一次方程，方程只有唯一解．故當(dāng)P中只有一個元素時，a=4或0．當(dāng)a=4時，元素為；當(dāng)a=0時，元素為．

(2)P中至多只有一個元素，包含P為空集和P中只有一個元素兩種情形．當(dāng)P為空集時，由及⊿=解得a>4，從而a的取值范圍為或a=0．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是正確審題，搞清“只有一個”與“至多只有一個”的真正含義并注意它們的區(qū)別，注意參數(shù)a所在的位置(這里的a在二次項系數(shù)前，因而方程未必為二次的)對解題的影響．

②解題規(guī)律是根的判別式⊿只適用于實系數(shù)一元二次方程根的討論．

③解題易錯點是混淆“空集是不含任何元素的集合”的概念，從而遺漏對空集情況的檢驗討論；另一方面容易忽視對方程次數(shù)即a=0的情況的討論．

3．?dāng)?shù)形結(jié)合法

[例6](1)已知U為全集，集合M、N?U，若M∩N=N，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．?_UM?_UN 　　B．M?_UN　

C．?_UM?_UN　 　D．M?_UN

(2)設(shè)U是全集，集合P、Q滿足P?Q，則下面的結(jié)論中錯誤的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．P∪Q=Q　　　　 　　B．(?_U P)∪Q=U　

C．P∩(?_U Q)= 　　　D．(?_U P)∩(?_U Q)=?_U P

[分析]本題中兩小題是一對姊妹題，一對高考題，第(1)小題為1995年全國高考題，檢測根據(jù)集合的交并關(guān)系判斷集合間

的包含及包含于關(guān)系；第(2)小題為1994年上海市高考題，檢測由集合的包含關(guān)系判斷集合的交并關(guān)系．兩小題均涉及全集、補集、子集及真子集、集合的交并補運算，題中均未給出具體的集合，因而它們不僅全面檢測了考生對集合概念理解和掌握程度，也檢測了考生的抽象能力，是兩道“題小功能大”的好題．對于第(1)小題，作出韋恩圖如圖2，由圖易知?_UM?_UN正確，從而答案選C；對于第(2)小題，作出韋恩圖如圖3，由圖可知，僅D選項的內(nèi)容錯誤，從而答案選D．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是借助韋恩圖法，直接觀察得到結(jié)論．

②解題規(guī)律是當(dāng)問題比較抽象時，可以將問題特殊化、具體化，不妨取些特例，即用選擇題的特例排除法來迅速得到答案．如對于第(1)小題，可令U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={1，2}，則?_UM={4}，?_UN={3，4}，顯然只有?_UM?_UN成立，故答案非C莫屬；對于第(2)小題，亦可令U={1，2，3，4}，Q={1，2，3}，P={1，2}，則錯誤結(jié)論D躍然紙上．

③解題易錯點是讀審題不認(rèn)真仔細(xì)，不能注意提示用語，如第(1)小題選的是正確項，而第(2)小題選的則是錯誤項；另外不能正確理解集合語言及符號，搞錯概念的內(nèi)涵與外延．

[例7]已知集合A=，B=

{ x︱3a+1≤x≤2}，試問是否存在實數(shù)a使得A Ì B成立？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由．

[分析]本題檢測解絕對值不等式的能力，對集合間的包含關(guān)系的理解和轉(zhuǎn)化能力，以及對字母的分類討論能力，是一道小型綜合題．解題時，可先對集合A進行化簡，然后根據(jù)集合間的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合的辦法，畫出數(shù)軸，求出適合題意的a的值，或說明其值不存在．

[解]根據(jù)︱x︱≤a(a>0)的解集可將A中的元素化為

　　　 ．

解得　 ．

故 A={ x︱}．

因A Ì B，畫出如圖4的示意圖，由此得

解得　 ．

于是符合條件的實數(shù)a存在，且．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是正確理解條件“A Ì B”，畫出數(shù)軸，以形助數(shù)，從而順利破解問題．

②解題規(guī)律是一般為先假設(shè)問題是存在的，然后通過計算、證明、推理等手段，能求出解的可下結(jié)論是存在的，不能求出其解的可下結(jié)論是不存在的．其解題過程和一般非開放型問題的求解相類似．

③解題易錯點是認(rèn)為有參數(shù)的問題，都需要討論，而這里并非如此．

2．定義法

[例3]設(shè)集合M={直線}，P={圓}，則集合M∩P中的元素個數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．0 　　B．1 　　C．2　 　D．0或1或2

[分析]本題考查集合的交集與并集的運算，是一道概念性極強的試題，可使用定義法求解．

[解]因集合M={直線}，P={圓}，集合M∩P中的元素既是直線且又是圓，顯然這樣的元素不存在，從而M∩P=，答案選A．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是正確理解集合的交集與并集的運算及M∩P的意義．集合的交集是由既屬于集合A且又屬于集合B的公共元素組成的集合，它強調(diào)的是“且”的關(guān)系；并集是由屬于A或屬于集合B之一的元素組成的集合，它強調(diào)的是“或”的關(guān)系．

②解題規(guī)律：定義法解題的一般步驟為：(ⅰ)分析和研究所給問題中已知的條件和待求的解題目標(biāo)；(ⅱ)回憶有關(guān)概念的內(nèi)涵和要點；(ⅲ)用定義去指導(dǎo)解題活動．

③解題易錯點是將M∩P誤認(rèn)為是直線與圓的交點個數(shù)問題，從而誤選D．本題若改為為常數(shù)，且a,b不同時為零}，，則M∩P中的元素個數(shù)應(yīng)為0或1或2．

[例4]已知集合A={a，b，c，d}，B={a²，b²，c²，d²}，其中A?N^*，B?N^*，a<b<c<d，且A∩B={a,d}，a+d=10．

　 (1)求a、d；

　 (2)若A∪B中所有元素的和為124，你能確定集合A、B中的所有元素嗎？

　　　 [分析](1)根據(jù)交集的意義及其題設(shè)，求解出a，d．

(2)由A∩B中的元素個數(shù)為2，而A與B的元素個數(shù)均為4個可知：A∪B中共有6個元素，且其中有四個元素分別為1，3，9，81，而另兩個元素分別為x與x²．一個未知數(shù)，還有一個和的條件，可以求解x，進而可求得集合A與B．

[解](1)因A∩B={a,d}，且a<b<c<d，于是 a= a²，解得 a=1(a=0，不合，舍去)，從而 d=9．

(2)A={1,b,c,9}，B={1,b²,c²,81}．

　　　 因 A∩B={1,9}，故 3∈A，9∈B．

　　　 于是可設(shè)A={1，3，9，x}，B={1，9，81，x²}，其中x<9．

　　　 依題設(shè)有　 1+3+9+x+81+ x²=124， 解得 x=5(x= -6，不合，舍去)．

　　　 故 A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．

　　　 [點悟]①解題關(guān)鍵點是熟練掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互異性、無序性、確定性)進行解題．

②解題規(guī)律：對于遞進型的綜合問題，應(yīng)采取各個“擊破”，“分而治之”，直至“殲滅”的辦法．

③解題易錯點求集合的并運算，不是兩個集合所有元素的簡單迭加；另外容易忽視集合元素的互異性，即相同的元素在一個集合中只算一個元素．

[例5]在下列電路圖中，閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件：

圖1 (1)中，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的　　 　　　條件；

　　　 圖1 (2)中，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的　　　 　　　條件；

　　　 圖1 (3)中，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的　　　　　 條件；

　　　 圖1 (4)中，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的　　　　　 條件．

[分析]首先根據(jù)電路的串并聯(lián)知識，分析開關(guān)A閉合是否有燈泡B亮，然后根據(jù)充分而不必要條件、必要而不充分條件、充要條件的含義作答．

[解](1)開關(guān)A閉合，燈泡B亮；反之，燈泡B亮，開關(guān)A閉合，于是開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件．

(2)僅當(dāng)開關(guān)A、C都閉合時，燈泡B才亮；反之，燈泡B亮，開關(guān)A必須閉合，故開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要而不充分條件．

(3)開關(guān)A不起任何作用，故開關(guān)A閉合是燈泡B亮的既不充分又不必要條件．

(4)開關(guān)A閉合，燈泡B亮；但燈泡B亮，只須開關(guān)A或B閉合，故開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分而不必要條件．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是正確理解充分與必要條件的含義，讀懂圖形語言，并掌握一些物理學(xué)知識特別是簡單的電學(xué)知識，進行電路圖的正確分析．

②“學(xué)以致用”已不是什么口號．重視知識的綜合，體現(xiàn)時代的特點，滲透素質(zhì)教育的內(nèi)含，是一種大勢所趨．

③解題易錯點是對條件的充分與必要性區(qū)分不清，不能正確地讀懂電路圖．

1．化歸與轉(zhuǎn)化

[例1]已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}．集合C滿足：①若將C中的各元素均減2，則新集合C₁就變?yōu)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>A的一個子集；②若將C中的各元素均加3，則新集合C₂就變?yōu)?i>B的一個子集；③C中的元素可以是一個一元二次方程的不等實數(shù)根．試根據(jù)以上條件，用列舉法表示集合C．

[分析]本小題重點檢測文字語言向符號語言轉(zhuǎn)換的能力．條件③即就是集合C中的元素個數(shù)為2．從子集的定義出發(fā)，并將條件①、②分別轉(zhuǎn)換成另一種表述方式，可使問題順利求解．

[解]將①換一種說法，即若將A中的各個元素均加2，得新集合A₁，則CA₁，即C{4，5，7，8，10}；將②換一種說法，即若將B中的各個元素均減3，得新集合B₁，則CB₂，即C{-2，0，2，4，7}．于是C({4，5，7，8，10}∩{-2，0，2，4，7})={4，7}．又由條件③知，集合C中的元素恰有兩個，于是C={4，7}．

　　　 [點悟]①解題關(guān)鍵點是正確地將文字語言翻譯成集合語言(或符號語言)．

②解題規(guī)律是當(dāng)直接求解不易時，可考慮問題的反面或換一種表述方式，如本題中將“C₁為A的子集”換為“C₁A”，再換為“CA₁”；將“C₂為B的子集”換為“C₂B”，再換為“CB₂”，這樣迅速地破解了問題．

③本題的一個拓廣是：將條件③去掉，則問題便是求集合{4，7}的非空子集(想一想：為什么集合C不能為空集)，答案為{4}，或{7}或{4，7}．

[例2]設(shè)A=，B=．

(1)若A∩B=B，試求實數(shù)a，b所滿足的條件；

(2)若A∪B=B，試求實數(shù)a，b所滿足的條件．

[分析]利用A∩B=B與BA的等價性及A∪B=B與AB的等價性將問題進行轉(zhuǎn)化，注意分類討論思想的運用．

[解]解方程，得 x= -3或x=6，于是A={-3，6}．

(1)因A∩B=B，故BA，即B{-3，6}，從而B=，或B={-3}，或B={6}，或B={-3，6}．

若B=，則方程無實數(shù)解，于是⊿=；

若B={-3}，即方程有相等的實數(shù)根且該根為x= -3．從而由韋達(dá)定理可得a= 6，b=9；

若B={6}，即方程有相等的實數(shù)根且該根為x= 6．從而由韋達(dá)定理可得a= -12，b=36；

若B={-3，6}，即方程的兩根為x= -3和 x=6．從而由韋達(dá)定理可得a= -3，b= -18．

綜合上面的討論可知，當(dāng)A∩B=B時，或a= 6，b=9或a= -12，b=36或a= -3，b= -18．

(2)因A∪B=B，故AB，即{-3，6}B．又B為一元二次方程的解集，故B中的元素最多只有兩個，從而A=B，于是a= -3，b= -18．

[點悟]①解題關(guān)鍵點是善于將A∪B=B等價轉(zhuǎn)化為AB，將A∩B=B等價轉(zhuǎn)化為BA ．

②解題規(guī)律是當(dāng)已知方程的兩不等實數(shù)根時，除可使用韋達(dá)定理求解a、b外，還可直接將兩根均代入方程得到關(guān)于a、b的二元方程組，然后求解方程組得出a、b的值；如方程只有唯一的一個實數(shù)根m，則：實數(shù)根m滿足方程且根的判別式為0．另外第(1)小題中的B={-3，6}的情形，也可這樣求解：因B=A，故方程x²-3x-18=0與方程等價，利用對應(yīng)項系數(shù)成比例即得a= -3，b= -18．

③解題易錯點是遺漏空集亦滿足性質(zhì)：A∩=；另外結(jié)論的表示混亂，如將第(1)小題的結(jié)論表示成a=6或a= -12或a= -3，b=9或b=36或b= -18，及．

25．設(shè)a>0，是R上的偶函數(shù)。

　 　(1)求a的值；

　　 (2)證明：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2001天津理(19))

24．對于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點。已知函數(shù)f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1) (a≠0)。

(1)當(dāng)a=1,b=-2時，求函數(shù)f(x)的不動點；

(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+1/(2a²+1)對稱，求b的最小值。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2002上海春招(22))