橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

(12分)設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

圍.

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F分向量

AB

所成的比為2，求直線l的方程．

（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．在此條件下我們可以提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“設(shè)△PF₁F₂的過(guò)P角的外角平分線為l，自焦點(diǎn)F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？”
對(duì)該問(wèn)題某同學(xué)給出了一個(gè)正確的求解，但部分解答過(guò)程因作業(yè)本受潮模糊了，我們?cè)?br />
這些模糊地方劃了線，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整．
解：延長(zhǎng)F₂Q 交F₁P的延長(zhǎng)線于E，據(jù)題意，
E與F₂關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是，
其方程是：．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．請(qǐng)你試著提出與（1）類似的問(wèn)題，并加以證明．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

3

），且F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-

1

2

）²+y²=r²被橢圓C所覆蓋，求圓的半徑r的最大值．