解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為:.則.--①--1分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)橢圓C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(數(shù)學(xué)公式),且其右焦點(diǎn)到直線數(shù)學(xué)公式的距離為3.
(1)求橢圓C的軌跡方程;
(2)若A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M,則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”,如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(數(shù)學(xué)公式),求證點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上;
(3)根據(jù)解決問題(2)的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì),請運(yùn)用類比、推廣等思想方法,提出一個(gè)與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價(jià)值的結(jié)論,并加以解決.(本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值)

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設(shè)橢圓C:(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(),且其右焦點(diǎn)到直線的距離為3.
(1)求橢圓C的軌跡方程;
(2)若A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M,則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”,如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(),求證點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上;
(3)根據(jù)解決問題(2)的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì),請運(yùn)用類比、推廣等思想方法,提出一個(gè)與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價(jià)值的結(jié)論,并加以解決.(本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值)

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設(shè)橢圓(常數(shù))的左右焦點(diǎn)分別為,是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

(1)若,求的值;

(2)求的最小值.

【解析】第一問中解:設(shè),

    由,得

  ② 

第二問易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值

解:設(shè), ……………………1分

,由     ①……2分

(1)由,得  ②   ……………1分

    ③    ………………………1分

由①、②、③三式,消去,并求得. ………………………3分

(2)解法一:易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.………………2分

, ……4分

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值.…2分

解法二:, ………………4分

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值

 

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(2009•崇明縣二模)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,-
2
),且其右焦點(diǎn)到直線y-x-2
2
=0
的距離為3.
(1)求橢圓C的軌跡方程;
(2)若A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M,則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”,如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(
1
2
,0
),求證點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上;
(3)根據(jù)解決問題(2)的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì),請運(yùn)用類比、推廣等思想方法,提出一個(gè)與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價(jià)值的結(jié)論,并加以解決.(本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值)

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已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),且不在軸上,軸,垂足為,線段中點(diǎn)的軌跡為曲線,過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點(diǎn)。

(I)求曲線的方程;

(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為

第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 

,∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,  

要使軸平分,只要得到。

(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為.  ………………2分       

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 ,……5分            

,∴

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,   

要使軸平分,只要,            ………………9分

,,        ………………10分

也就是,

,即只要  ………………12分  

當(dāng)時(shí),(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.

所以在x軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

 

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