2．不相等的向量是否一定不平行？(不一定)

1．平行向量是否一定方向相同？(不一定)

例1 判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.　

①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；　

②單位向量都相等；　

③任一向量與它的相反向量不相等；　

④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝

⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；　

⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.

②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.

④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.

評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關系必須把握好.

例2下列命題正確的是(　　 )　

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線　

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點　

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量　

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應選C.

評述：對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進行考慮，要啟發(fā)學生注意這兩方面的結合

4．向量與有向線段的區(qū)別：

(1)向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；

(2)有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段

3.實數與向量不能相加減，但實數與向量可以相乘.

初學向量的同學很可能認為一個實數與一個向量之間可進行加法或者減法，這是錯誤的.實數與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個相等向量相加.

2.向量不能比較大小

我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關系，沒有大小之分，“對于向量a，b，a＞b，或a＜b”這種說法是錯誤的.

6.共線向量與平行向量關系：

平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.

說明：(1)平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；

(2)共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.

探究：1.對向量概念的理解

要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個端點中，我們規(guī)定了一個順序，A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點要畫箭頭表示它的方向，以A為起點，以B為終點的有向線段記為，需要學生注意的是：的字母是有順序的，起點在前終點在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點、方向、長度.

既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用點(起點)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現在所學的向量一般指后者.

5.相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說明：(1)向量a與b相等，記作a＝b；

(2)零向量與零向量相等；

(3)任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關.

4.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我們規(guī)定0與任一向量平行.

說明：(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義；

(2)向量a、b、c平行，記作a∥b∥c.

3.零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作的方向是任意的

注意與0的區(qū)別

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.

說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.