Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，，．

求拋物線的函數(shù)表達式；

求拋物線的頂點坐標；

如圖1，點D是拋物線上一動點，過D作y軸的平行線DE交直線AB于點E，當線段時，請直接寫出D點的橫坐標；

如圖2，當D為直線AB上方拋物線上一動點時，于F，設AC的中點為M，連接BD，BM，是否存在點D，使得中有一個角與相等？若存在，請直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的橫坐標為或或或；（4）存在，D點的橫坐標為或．

【解析】

設交點式，然后把B點坐標代入求出a得到拋物線解析式，然后把解析式

把一般式化為頂點式得到拋物線的頂點坐標；

易得直線AB的解析式為，設，則，利用題意得到，然后解絕對值方程即可；

若，則，作軸于B，作于H，于G，如圖，證明，再計算出，則，設，所以，然后解t的方程得到此時D點的橫坐標若，作軸于拋物線交于另一點，作軸交BD于G，如圖3，則，，同理得，則，所以，接著求出直線BG的解析式為，然后解方程組得D點坐標．

解：設拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為，即；

，

拋物線的頂點坐標為；

易得直線AB的解析式為，

設，則

，

解方程得，；

解方程得，，

點的橫坐標為或或或；

存在．

拋物線的對稱軸為直線，則，

若，則，

作軸于B，作于H，于G，如圖2，

，

為等腰直角三角形，

，，

，

，

在中，，

，

在中，，

在中，，

，

設，

整理得，解得舍去，，

點坐標為，

若，作軸于拋物線交于另一點，作軸交BD于G，如圖3，則，，

同理得，

，

，

，

易得直線BG的解析式為，

解方程組得或，

點坐標為，

綜上所述，D點的橫坐標為或．